Question

Катеты прямоугольного треугольника относятся друг к другу как 3:4. Высота делит гипотенузу на отрезки разность между которыми равна 14см. Найти площадь треугольника.

Answer 1

a и b - катеты => a/b=3/4 => a=3b/4, разность можно представить как 17-3=14 => c(гиппотенуза)=20 => 400=9b²/16 +b² Отсюда b=16 => a= 3*16/4=12. 

S=ab½*sin90°=12*16*½=8*12=96. 

Answer 2

aиb-катеты=a/b=3/4=a=3b/4,разность можно представить как17-3=14

c=20=400=9b²/16 +b²тогда b=16=a=3*16/4=12. 

S=ab½*sin90°=12*16*½=8*12=96.

Answer 3

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 4x, где x - коэффициент пропорциональности.

Тогда гипотенуза треугольника будет равна 5x (по теореме Пифагора).

По условию, высота треугольника делит гипотенузу на два отрезка, разность между которыми равна 14 см. Пусть эти отрезки равны a и b, где a - более короткий отрезок.

Тогда a - b = 14.

Также, согласно теореме Пифагора, a^2 + (3x)^2 = b^2 + (4x)^2.

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

a^2 + 9x^2 = b^2 + 16x^2.

Так как a - b = 14, то a = b + 14.

Подставляя это в уравнение, получаем:

(b + 14)^2 + 9x^2 = b^2 + 16x^2.

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

b^2 + 28b + 196 + 9x^2 = b^2 + 16x^2.

Упрощая, получаем:

28b + 196 = 7x^2.

Разделим обе части уравнения на 7:

4b + 28 = x^2.

Также, из условия пропорциональности катетов, имеем:

3x : 4x = 3 : 4.

Упрощая, получаем:

3/4 = 3/4.

Таким образом, коэффициент пропорциональности x = 4.

Подставляем x = 4 в уравнение 4b + 28 = x^2:

4b + 28 = 16.

Упрощаем:

4b = 16 - 28,

4b = -12,

b = -12/4,

b = -3.

Так как a = b + 14, то a = -3 + 14 = 11.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, нужно умножить половину произведения катетов на высоту, которая равна a:

Площадь треугольника = (1/2) * (3x) * (4x) = 6x^2.

Подставляем x = 4:

Площадь треугольника = 6 * 4^2 = 6 * 16 = 96 кв. см.

Таким образом, площадь треугольника равна 96 кв. см.