Question

В прямоугольный треугольник длина гипотенузы которого равна 13 см, вписана окружность. Найти длины катетов, если радиус окружности равен 2 см.

Answer 1

DOFC квадрат со стороной 2. Пусть АЕ=х, ВЕ=13-х, АD=х, FB=13-х.
 Тогда катет Ас= х+2, а катет СВ= 15-х.
По теореме Пифагора 13² = (х+2)²+(15-х)²
2х²-26х+60=0
х=3, х=10. Катеты будут 3+2=5 и 15-3=12. Второй корень дает такие же катеты.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанной окружности прямоугольного треугольника.

Согласно свойству, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине суммы длин катетов. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

r = (a + b) / 2,

где r - радиус окружности, a и b - длины катетов.

Известно, что радиус окружности равен 2 см, поэтому мы можем записать следующее:

2 = (a + b) / 2.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

4 = a + b.

Также известно, что гипотенуза треугольника равна 13 см. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

a^2 + b^2 = 13^2.

Мы можем подставить значение a + b из предыдущего уравнения в это уравнение:

(4 - b)^2 + b^2 = 169.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

16 - 8b + b^2 + b^2 = 169, 2b^2 - 8b + 16 = 169, 2b^2 - 8b - 153 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-8)^2 - 4 * 2 * (-153) = 64 + 1224 = 1288.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

b1 = (8 + √1288) / 4 = (8 + 35.9) / 4 = 43.9 / 4 = 10.975, b2 = (8 - √1288) / 4 = (8 - 35.9) / 4 = -27.9 / 4 = -6.975.

Так как длины не могут быть отрицательными, выбираем положительное значение:

b = 10.975.

Теперь мы можем найти значение a, используя уравнение a + b = 4:

a = 4 - b = 4 - 10.975 = -6.975.

Однако, как и ранее, длины не могут быть отрицательными, поэтому отбрасываем это значение.

Итак, длина первого катета равна 10.975 см, а длина второго катета равна 10.975 см.