Question

Отрезок АО - медиана треугольника АВС. Точка М лежит на луче АО, причём АО-ОМ. Докажите, что ∠АВМ = ∠АВС +∠ВСА.

Answer 1

∠ABM=∠ABC+∠CBM
Рассмотрим треугольники AOC и BOM:
AO=OM - по условию
BO=OC, т.к. АО - медиана ΔАВС
∠BOM=∠AOC - как вертикальные углы
Значит треугольники ВОМ и АОС равны по первому признаку.
У равных треугольников соответствующие стороны и углы равны, значит ∠АСО=∠ОВМ (∠СВМ=∠ВСА)
∠ABM=∠ABC+∠CBM=∠АВС+∠ВСА.

Answer 2

Определение

Для начала, давайте определим некоторые термины, которые используются в этом вопросе:

- Отрезок АО: отрезок, соединяющий точку А и точку О. - Медиана треугольника АВС: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана треугольника АВС проходит через вершину А и середину стороны ВС. - Точка М: точка на луче АО, такая что АО-ОМ. То есть, точка М находится на отрезке АО, но не на самом отрезке АО.

Доказательство

Мы хотим доказать, что угол АВМ равен углу АВС плюс углу ВСА. Давайте рассмотрим два треугольника: треугольник АВМ и треугольник АСМ.

# Шаг 1: Угол АВМ и угол АСМ

Так как точка М находится на медиане треугольника АВС, она делит медиану на две равные части. Это означает, что отрезок АМ равен отрезку МС. Также, так как АО-ОМ, отрезок АО равен отрезку ОМ.

Теперь рассмотрим треугольник АВМ. У нас есть две равные стороны: АМ и МВ (по определению медианы) и у нас есть общая сторона АВ. Поэтому треугольник АВМ является равнобедренным треугольником.

Таким образом, угол АВМ равен углу АМВ (из-за равенства сторон). Мы обозначим этот угол как α.

Аналогично, рассмотрим треугольник АСМ. У нас также есть две равные стороны: АМ и МС (по определению медианы) и у нас есть общая сторона АС. Таким образом, треугольник АСМ также является равнобедренным треугольником.

Угол АСМ равен углу АМС (из-за равенства сторон). Мы обозначим этот угол как β.

# Шаг 2: Угол АВС и угол ВСА

Теперь рассмотрим треугольник АВС. У нас есть две равные стороны: АВ и ВС (по определению медианы) и у нас есть общая сторона АС. Таким образом, треугольник АВС также является равнобедренным треугольником.

Угол АВС равен углу АСВ (из-за равенства сторон). Мы обозначим этот угол как γ.

# Шаг 3: Доказательство

Теперь мы можем приступить к доказательству того, что угол АВМ равен углу АВС плюс углу ВСА.

Угол АВМ равен углу АМВ (из шага 1) и угол АСМ равен углу АМС (из шага 1).

Таким образом, угол АВМ равен углу АМВ (α) и углу АСМ равен углу АМС (β).

Из равнобедренности треугольников АВМ и АСМ, у нас также есть равенство углов: угол АМВ (α) равен углу ВМА и угол АМС (β) равен углу СМА.

Также, угол АВС равен углу АСВ (γ).

Теперь давайте сложим углы: угол АВМ (α) равен углу ВМА (из равнобедренности треугольника АВМ), угол АВС (γ) и углу СМА (из равнобедренности треугольника АСМ).

Таким образом, угол АВМ равен углу АВС плюс углу ВСА.

Заключение

Мы доказали, что угол АВМ равен углу АВС плюс углу ВСА, используя равенство сторон и равнобедренность треугольников АВМ и АСМ. Это доказывает утверждение, что ∠АВМ = ∠АВС + ∠ВСА.