Question

Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(−2; 1), B(1; 4), C(5; 0), D(2; −3) является прямоугольником.

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольников. Прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. Противоположные стороны равны и параллельны. 2. Диагонали равны и пересекаются в центре.

Давайте проверим, выполняются ли эти свойства для четырехугольника ABCD.

1. Проверка равенства противоположных сторон

Для этого найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, и проверим их соответствие.

Длина стороны AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) AB = √((1 - (-2))^2 + (4 - 1)^2) AB = √(3^2 + 3^2) AB = √(9 + 9) AB = √18

Длина стороны BC: BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) BC = √((5 - 1)^2 + (0 - 4)^2) BC = √(4^2 + (-4)^2) BC = √(16 + 16) BC = √32

Длина стороны CD: CD = √((x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2) CD = √((2 - 5)^2 + (-3 - 0)^2) CD = √((-3)^2 + (-3)^2) CD = √(9 + 9) CD = √18

Длина стороны DA: DA = √((x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2) DA = √((-2 - 2)^2 + (1 - (-3))^2) DA = √((-4)^2 + (4)^2) DA = √(16 + 16) DA = √32

Мы видим, что AB = CD и BC = DA, что подтверждает равенство противоположных сторон.

2. Проверка перпендикулярности диагоналей

Для этого проверим, перпендикулярны ли диагонали AC и BD.

Уравнение прямой AC проходящей через точки A(-2, 1) и C(5, 0) имеет вид: (y - y_A) / (y_C - y_A) = (x - x_A) / (x_C - x_A)

Уравнение прямой BD проходящей через точки B(1, 4) и D(2, -3) имеет вид: (y - y_B) / (y_D - y_B) = (x - x_B) / (x_D - x_B)

Проверим, перпендикулярны ли эти прямые, найдя их угловые коэффициенты и убедившись, что их произведение равно -1.

Угловой коэффициент прямой AC: m_AC = (y_C - y_A) / (x_C - x_A) m_AC = (0 - 1) / (5 - (-2)) m_AC = -1 / 7

Угловой коэффициент прямой BD: m_BD = (y_D - y_B) / (x_D - x_B) m_BD = (-3 - 4) / (2 - 1) m_BD = -7 / 1 m_BD = -7

Таким образом, угловые коэффициенты прямых AC и BD равны -1 / 7 и -7 соответственно, что доказывает, что прямые AC и BD перпендикулярны.

Таким образом, мы убедились, что чет