Question

Трикутник ABC задано координатами його вершин А (-1;0) ; В (1;2); С (-3;2). Знайти кут В.​

Answer 1

Чтобы найти угол, используем формулу скалярного произведения через косинус угла между векторами и выразим из нее угол:

$cos(a;b)=\frac{a*b}{|a|*|b|}$

a = AB = (1+1;2-0) = (2;2)

b = ВС = (-3-1;2-2) = (-4;0)

a*b - скалярное произведение. У нас даны координаты двух векторов, поэтому находим его по второй формуле:

a*b = x1x2 + y1y2

AB*BC = 2*(-4) + 2*0 = -8

Находим длины двух векторов:

|AB| = √2²+2² = √8 = 2√2

|BC| = √-4²+0² = 4

cos(AB;ВС) = -8 / 8√2 = -1/√2

-1√2 = 135°

Ответ: 135°

Answer 2

Для нахождения угла В в треугольнике ABC, можно использовать теорему косинусов.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2) = √(2^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-3 - 1)^2 + (2 - 2)^2) = √((-4)^2 + 0^2) = √(16 + 0) = √16 = 4

AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-3 - (-1))^2 + (2 - 0)^2) = √((-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Теперь, применим теорему косинусов для нахождения угла В:

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) cos(B) = (2√2^2 + 4^2 - 2√2^2) / (2 * 2√2 * 4) cos(B) = (8 + 16 - 8) / (2 * 2√2 * 4) cos(B) = 16 / (16√2) cos(B) = 1 / √2 cos(B) = √2 / 2

Теперь найдем значение угла В, применив обратную функцию косинуса:

B = arccos(√2 / 2) B ≈ 45°

Таким образом, угол В в треугольнике ABC равен около 45°.