Question

Дан четырёхугольник. Середины его сторон образуют четырехугольник, периметр которого равен 10. Найдите сумму длин диагоналей исходного четырехугольника.

Answer 1

сумма диагоналей исходного равна 10

Объяснение:

Если соединить середины сторон, то эти отрезки будут средними линиями треугольников. Их длина равна половине основания, те половине диагонали. по этому 10

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства четырехугольников и средних линий.

Свойства средних линий четырехугольника

Средние линии четырехугольника соединяют середины его сторон и образуют внутри него малый четырехугольник. Этот малый четырехугольник является параллелограммом и имеет следующие свойства: - Серединные линии параллелограмма делят его на 4 равные части. - Длины диагоналей малого параллелограмма равны половине суммы длин диагоналей исходного четырехугольника.

Решение

Пусть исходный четырехугольник имеет стороны a, b, c и d. По условию задачи, периметр малого четырехугольника, образованного серединными линиями, равен 10. Обозначим его стороны как p, q, r и s.

Так как малый четырехугольник является параллелограммом, то сумма длин его сторон равна периметру: p + q + r + s = 10

Также, согласно свойствам параллелограмма, длины диагоналей малого четырехугольника равны половине суммы длин диагоналей исходного четырехугольника: (p + r) / 2 = (a + c) / 2 (q + s) / 2 = (b + d) / 2

Мы можем выразить p, q, r и s через a, b, c и d, подставить эти значения в уравнение для суммы длин диагоналей и решить его, чтобы найти сумму длин диагоналей исходного четырехугольника.

Пример решения

Предположим, что исходный четырехугольник имеет стороны a = 4, b = 5, c = 6 и d = 7.

Тогда периметр малого четырехугольника будет: p + q + r + s = 10

Диагонали исходного четырехугольника: (p + r) / 2 = (a + c) / 2 (q + s) / 2 = (b + d) / 2

Подставляем значения сторон и решаем систему уравнений: (4 + 6) / 2 = (p + r) / 2 (5 + 7) / 2 = (q + s) / 2

Решая эти уравнения, получаем: p + r = 10 q + s = 12

Теперь мы можем найти сумму длин диагоналей исходного четырехугольника: Сумма длин диагоналей = (p + q) + (r + s) = (10 - r) + (12 - s)

Подставляем значения r и s из уравнений: Сумма длин диагоналей = (10 - (10 - p)) + (12 - (12 - q)) = p + q = 10

Таким образом, сумма длин диагоналей исходного четырехугольника равна 10.