Question

В кубе ABCDA¹B¹C¹D¹ точка М - середина ребра АА¹, точка N - середина диагонали B¹D. Докажите, что MN перпендикулярно AA¹, MN перпендикулярно B¹D

Answer 1

В кубе ABCDA¹B¹C¹D¹ точка М - середина ребра АА¹, точка N - середина диагонали B¹D. Докажите, что MN перпендикулярно AA¹, MN перпендикулярно B¹D

Объяснение:

AA¹) М-середина AA¹, N-середина В¹D ⇒MN- средняя линия ΔAA¹С¹ ⇒ MN║A¹C¹. В кубе боковые ребра перпендикулярны основаниям , а значит любой прямой лежащей в этой плоскости ⇒  АА¹⊥A¹C¹ и значит АА¹⊥МN.

B¹D)Т.к АА¹║DD¹, то АА¹║(ВВ¹D¹) по признаку параллельности прямой и плоскости. Но МN⊥АА¹⇒ MN ⊥(ВВ¹D¹) и значит перпендикулярно любой прямой плоскости (ВВ¹D¹) ⇒ MN перпендикулярно B¹D.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок MN перпендикулярен отрезкам AA¹ и B¹D, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства серединных перпендикуляров.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны. 2. В параллелограмме противоположные углы равны.

Свойства серединных перпендикуляров:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку является прямой линией, проходящей через середину этого отрезка. 2. Серединный перпендикуляр к отрезку перпендикулярен этому отрезку.

Доказательство:

1. По свойству параллелограмма, отрезок AA¹ равен отрезку B¹D, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ABCDA¹B¹C¹D¹. 2. По свойству серединных перпендикуляров, отрезок MN, проходящий через середину отрезка AA¹, будет перпендикулярен этому отрезку. 3. По свойству серединных перпендикуляров, отрезок MN, проходящий через середину отрезка B¹D, будет перпендикулярен этому отрезку.

Таким образом, мы доказали, что отрезок MN перпендикулярен отрезкам AA¹ и B¹D.