Question

Доведіть, що у нерівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до гіпотенузи, ділить кут міжвисотою і медіаною, проведеними до гіпотенузи, пополамдам 20 балов​

Answer 1

Объяснение:

Пусть $CH$ — высота, $CL$ — биссектриса, $CM$ — медиана, проведенные к гипотенузе, острый угол $\angle B = \beta$.

Так как $CM = AM = MB$, то треугольник $CMB$ равнобедренный, $\angle MCB = \beta$, тогда $\angle LCM = 45^\circ - \beta .$

В треугольнике $AHC$ $\angle ACH = \beta ,$ значит $\angle HCL = 45^\circ - \beta .$

Таким образом, $\angle HCL = \angle LCM.$

Answer 2

Для доведення даного твердження розглянемо нерівнобедрений прямокутний трикутник ABC, де AB - гіпотенуза, BC і AC - катети, а BD - бісектриса кута B.

Позначимо точку перетину медіани трикутника з гіпотенузою як M, а точку перетину висоти з гіпотенузою як N.

За властивостями бісектриси, довжина BD ділить відповідний кут на два рівні кути. Значить, ми маємо два кути: CBD і ABD, які спільно утворюють кут B.

За властивостями медіани, точка M ділить гіпотенузу на дві рівні частини. Значить, BM = MA.

За властивостями висоти, висота ND проведена до гіпотенузи ділить її на дві частини, пропорційні до катетів BC і AC. Значить, BN/NC = AN/NA.

Ми маємо два рівні кути B і дві рівні довжини BM і MA. За теоремою про рівність трьох кутів, трикутники BDM і AMB будуть подібними. Значить, кут BDM = кут AMB.

Ми також маємо дві рівні відношення BN/NC = AN/NA. За теоремою про рівність трьох сторін, трикутники BDN і ANM будуть подібними. Значить, кут BDN = кут ANM.

Отже, ми отримали, що кути BDM і BDN, які утворюються бісектрисою BD, поділеною гіпотенузою, рівні куту AMB і куту ANM, що утворюються медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

Таким чином, бісектриса, проведена до гіпотенузи нерівнобедреного прямокутного трикутника, ділить кут між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи, навпіл.