Question

У коло радіуса R вписано трапецію, нижня основа якої вдвічі більша від кожної з решти сторін. Знайти площу трапеції.​

Answer 1

Ответ:

Площадь трапеции равна $\frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4}$

Объяснение:

Пусть $P$ — середина нижнего основания $AD$. Тогда $AP = PD = AB = BC = CD$.

Соединим точку $P$ с вершинами $B$ и $C$. Тогда $ABCP$ и $PBCD$ ромбы,  а образовавшиеся треугольники $ABP$, $BPC$ и $PCD$ — равносторонние.

Из равенства $PA = PB = PC = PD$ следует, что $P$ — центр описанной окружности, а все перечисленные отрезки — ее радиусы.

Трапеция состоит из трех одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых через сторону вычисляется по формуле

$S = \displaystyle\frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Значит площадь трапеции равна

${S_T} = 3 \cdot \displaystyle\frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \displaystyle\frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4}.$

Answer 2

Позначимо нижню основу трапеції як a, а верхню основу - як b. Оскільки нижня основа вдвічі більша від кожної з решти сторін, то ми можемо записати наступне:

a = 2x, де x - довжина кожної з решти сторін.

Враховуючи, що коло радіуса R вписано у трапецію, можемо встановити такий зв'язок між сторонами трапеції та радіусом кола:

a + b = 2πR

Підставляючи значення a = 2x, отримуємо:

2x + b = 2πR

Також, знаючи, що сума довжин усіх сторін трапеції дорівнює периметру кола, можемо записати:

a + b + 2x + 2x = 2πR

Скорочуємо це рівняння:

4x + b = 2πR

Або:

b = 2πR - 4x

Тепер можемо знайти площу трапеції. Формула для обчислення площі трапеції:

S = (a + b) * h / 2,

де h - висота трапеції.

Оскільки висота трапеції проходить через центр кола, її довжина дорівнює діаметру кола, тобто 2R. Підставляємо значення a і b в формулу площі:

S = (2x + 2πR - 4x) * 2R / 2

Скорочуємо це рівняння:

S = (2πR - 2x) * R

S = 2πR^2 - 2Rx

Отже, площа трапеції дорівнює 2πR^2 - 2Rx.