Question

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута, а основи відносяться як 3: 13. Знайдіть діагональ трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 13 см.

Answer 1

Ответ:

Диагональ трапеции равна 24 см

Объяснение:

Пусть $BC = x,\ AD = 13x.$

Так как основания $BC$ и $AD$ параллельны, а диагональ $AC$ — секущая, то углы $BCA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие. Но тогда в треугольнике $ADC$ два одинаковых угла, следовательно он равнобедренный, $AD = CD = AB = 13x$.

Если $CE$ высота, то

$DE = \displaystyle\frac{{AD - BC}}{2} = \displaystyle\frac{{13x - 3x}}{2} = 5x.$

Значит из треугольника $CED$ по теореме Пифагора

$CE = \sqrt {{{(13x)}^2} - {{(5x)}^2}} = 12x.$

Окружность, описанная вокруг трапеции, одновременно описана и вокруг треугольника $ACD$. Ее радиус в треугольнике

$R = 13 = \displaystyle\frac{{abc}}{{4S}};\\\\\displaystyle\frac{{AC \cdot 13x \cdot 13x}}{{4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 13x \cdot 12x}} = 13;\\\\\displaystyle\frac{{AC \cdot 13}}{{24}} = 13;\\\\AC = 24.$

Answer 2

В рівнобічній трапеція діагональ є бісектрисою тупого кута, а основи відносяться як 3:13. Знайдемо діагональ трапеції, використовуючи дані про радіус кола, описаного навколо трапеції.

Розв'язок:

Позначимо основи трапеції як a та b, а діагональ - як d. За умовою задачі, відношення основ трапеції дорівнює 3:13, тобто a:b = 3:13.

Також, за властивостями рівнобічної трапеції, діагональ є бісектрисою тупого кута. Оскільки трапеція рівнобічна, то тупий кут дорівнює 180° - 60° = 120°. Тому, діагональ ділить тупий кут навпіл, тобто кут між діагоналями дорівнює 120°/2 = 60°.

За теоремою синусів, ми можемо встановити зв'язок між радіусом кола, описаного навколо трапеції, та діагоналлю трапеції: d/2sin(60°) = 13.

Розв'язавши це рівняння, ми знайдемо діагональ трапеції d.

Обчислення:

Розділимо обидві частини рівняння на sin(60°): d/2 = 13/sin(60°).

Обчислимо sin(60°): sin(60°) = √3/2.

Підставимо це значення у рівняння: d/2 = 13/(√3/2).

Помножимо обидві частини на 2: d = 13 * 2 / (√3/2).

Спростимо вираз: d = 26 / (√3/2).

Поділимо чисельник та знаменник на √3: d = 26 * (2/√3).

Раціоналізуємо знаменник: d = 26 * (2√3/3).

Помножимо чисельник та знаменник на 2: d = (52√3/3).

Таким чином, діагональ трапеції дорівнює 52√3/3 см.

Відповідь:

Діагональ трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 13 см, становить 52√3/3 см.