Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ!!!! СРОООООООООООЧНО!!!!! Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное доказательство. Утверждение. Вневписанная окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке A1 и продолжений сторон AB и AC в точках C1 и B1 соответственно. Тогда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство. Обозначим через a, b, c и p длины сторон BC, CA, AB и _________(полупериметр/периметр) треугольника ABC. Тогда верны равенства AB1=__________, AC1=__________ BC1=__________ BA1=__________ CA1=__________ CB1=__________ Следовательно, AB1/B1C⋅BC1/C1A⋅CA1/A1B=1, и поскольку среди точек A1, B1, C1 _______(Чётное/нечётноё) количество лежит на сторонах треугольника, по обратной теореме________(Чевы/Менелая) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Answer 1

Доказательство. Обозначим через a, b, c и p длины сторон BC, CA, AB и полупериметр

треугольника ABC. Тогда верны равенства

AB1=p,

AC1=p

BC1=p-c

BA1=p-c

CA1=p-b

CB1=p-b

Следовательно,

AB1/B1C⋅BC1/C1A⋅CA1/A1B=1,

и поскольку среди точек A1, B1, C1   нечётное

количество лежит на сторонах треугольника, по обратной теореме Чевы

прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Answer 2

Ответ:

Доказательство данного утверждения основано на использовании теоремы Чевы.

Обозначения:

- a, b, c - длины сторон треугольника ABC (BC, CA, AB соответственно) - p - полупериметр треугольника ABC (p = (a + b + c) / 2)

Доказательство:

1. Первым шагом заполним пропуски в тексте, используя известные свойства вневписанной окружности треугольника ABC.

- AB1 = AC1 = p - a - BC1 = BA1 = p - b - CA1 = CB1 = p - c

2. Теперь у нас есть значения длин отрезков AA1, BB1 и CC1, которые мы можем выразить через длины отрезков AB1, AC1, BC1, BA1, CA1 и CB1:

- AA1 = AB1 + BA1 = (p - a) + (p - b) = 2p - a - b - BB1 = BC1 + CB1 = (p - b) + (p - c) = 2p - b - c - CC1 = CA1 + AC1 = (p - c) + (p - a) = 2p - c - a

3. Теперь мы можем проверить, пересекаются ли эти прямые в одной точке, используя теорему Чевы.

- AB1/B1C ⋅ BC1/C1A ⋅ CA1/A1B = 1

Подставляя значения отрезков AB1, BC1, CA1, BA1, CB1 и AC1, получаем:

- (p - a)/(p - b) ⋅ (p - b)/(p - c) ⋅ (p - c)/(p - a) = 1

Раскрывая скобки, получаем:

- (p - a)(p - b)(p - c) = (p - a)(p - b)(p - c)

Заметим, что обе части равенства равны, следовательно, прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы доказали, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, используя теорему Чевы и свойства вневписанной окружности треугольника ABC.