Question

Даю 50 баллов!!!! Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.Доказательство. Обозначим через a, b, c и p длины сторон BC, CA, AB и полупериметр треугольника ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника касаются отрезков BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Тогда верны равенстваAB1=______AC1=______BC1=_____BA1=______CA1=__________CB1=______Следовательно,AB1B1C⋅BC1C1A⋅CA1A1B=1,и поскольку среди точек A1, B1, C1 ________ количество лежит на сторонах треугольника, по обратной теореме _______ отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Answer 1

Ответ: лови

Объяснение:

Answer 2

Доказательство того, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами, пересекаются в одной точке (точке Нагеля), можно провести следующим образом:

1. Пусть треугольник ABC имеет стороны длиной a, b и c, а его полупериметр равен p.

2. Пусть вневписанные окружности треугольника касаются сторон BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно.

3. Рассмотрим отрезок AB1.

4. Заметим, что отрезок AB1 является касательной к вневписанной окружности, поэтому AB1 равен сумме отрезков AB и B1C1.

5. Аналогично, отрезки AC1 и BC1 равны суммам AC + C1B1 и BC + B1A1 соответственно.

6. Таким образом, мы получаем следующие равенства: - AB1 = AB + B1C1 - AC1 = AC + C1B1 - BC1 = BC + B1A1

7. Подставим выражения для отрезков AB1, AC1 и BC1 в равенство AB1B1C ⋅ BC1C1A ⋅ CA1A1B = 1:

(AB + B1C1) ⋅ (BC + B1A1) ⋅ (AC + C1B1) = 1

8. Раскроем скобки и упростим выражение:

(AB ⋅ BC ⋅ AC) + (AB ⋅ BC ⋅ C1B1) + (AB ⋅ B1A1 ⋅ AC) + (AB ⋅ B1A1 ⋅ C1B1) + (B1C1 ⋅ BC ⋅ AC) + (B1C1 ⋅ BC ⋅ C1B1) + (B1C1 ⋅ B1A1 ⋅ AC) + (B1C1 ⋅ B1A1 ⋅ C1B1) + (AC ⋅ C1B1 ⋅ BC) + (AC ⋅ C1B1 ⋅ B1A1) + (AC ⋅ BC ⋅ C1B1) + (AB ⋅ B1A1 ⋅ C1B1) + (AB ⋅ C1B1 ⋅ B1A1) + (B1A1 ⋅ AC ⋅ C1B1) = 1

9. Заметим, что в каждом слагаемом выражения участвуют одинаковые отрезки (например, AB, BC, AC, B1C1, B1A1 и C1B1), поэтому можно сгруппировать слагаемые:

(AB ⋅ BC ⋅ AC) + (AB ⋅ BC ⋅ C1B1 + AB ⋅ B1A1 ⋅ AC + AB ⋅ B1A1 ⋅ C1B1 + B1C1 ⋅ BC ⋅ AC + B1C1 ⋅ BC ⋅ C1B1 + B1C1 ⋅ B1A1 ⋅ AC + B1C1 ⋅ B1A1 ⋅ C1B1 + AC ⋅ C1B1 ⋅ BC + AC ⋅ C1B1 ⋅ B1A1 + AC ⋅ BC ⋅ C1B1 + AB ⋅ B1A1 ⋅ C1B1 + AB ⋅ C1B1 ⋅ B1A1 + B1A1 ⋅ AC ⋅ C1B1) = 1

10. Если мы поделим обе части равенства на (AB ⋅ BC ⋅ AC), то получим:

1 + (BC ⋅ C1B1 + B1A1 ⋅ AC + B1A1 ⋅ C1B1 + B1C1 ⋅ AC + B1C1 ⋅ C1B1 + B1C1 ⋅ B1A1 + C1B1 ⋅ BC + C1B1 ⋅ B1A1 + BC ⋅ C1B1 + B1A1 ⋅ C1B1 + C1B1 ⋅ B1A1 + AC ⋅ C1B1 + AC ⋅ BC + B1A1 ⋅ AC ⋅ C1B1) / (AB ⋅ BC ⋅ AC) = 1

11. Упростим полученное выражение:

1 + (BC + AC + B1A1 + C1B1) / (AB ⋅ BC ⋅ AC) ⋅ (C1B1 + B1A1 + BC + AC) = 1

12. Заметим, что выражение (BC + AC + B1A1 + C1B1) / (AB ⋅ BC ⋅ AC) ⋅ (C1B1 + B1A1 + BC + AC) равно 1, так как сумма длин отрезков BC, AC, B1A1 и C1B1 равна полупериметру треугольника (p), а произведение длин отрезков C1B1 + B1A1 + BC + AC равно площади треугольника (S).

13. Таким образом, получаем равенство:

1 + 1 = 1

14. Очевидно, что это равенство неверно.

15. Следовательно, мы получаем противоречие, и наше предположение о том, что отрезки AB1, AC1 и BC1 пересекаются в одной точке, является неверным.

Вывод: Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами, не пересекаются в одной точке (точке Нагеля).