Question

Длины сторон прямоугольного треугольника образованы тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Чему равен больший перпендикуляр, если радиус описанного треугольника равен 12,5 см?

Answer 1

Ответ:

Больший катет треугольника равен 20 см

Объяснение:

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника $x - a,\,\,x,\,\,x + a.\,\,$

Тогда по теореме Пифагора

${(x - a)^2} + {x^2} = {(x + a)^2};\\\\{x^2} - 2ax + {a^2} + {x^2} = {x^2} + 2ax + {a^2};\\\\{x^2} - 4ax = 0;\\\\x(x - 4a) = 0;\\\\{x_1} = 0;\,\,{x_2} = 4a.$

Так как стороны не могут иметь нулевое значение, первый корень посторонний.

Таким образом, стороны данного треугольника $3a,\,\,4a,\,\,5a.$

Радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, следовательно

$R = \displaystyle\frac{c}{2} = \displaystyle\frac{{5a}}{2} = 12{,}5;\\\\a = 5.$

Больший катет треугольника равен $4a = 4 \cdot 5 = 20.$

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и радиуса описанной окружности.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с шагом d. Тогда можно записать следующие уравнения:

a, a+d, a+2d

Где a - первый член прогрессии.

Согласно свойствам радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника, радиус можно выразить через длины сторон треугольника следующим образом:

R = (a * (a + d) * (a + 2d)) / (4 * S)

Где R - радиус описанной окружности, S - площадь треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, площадь можно выразить через длины сторон по формуле:

S = (a * (a + d)) / 2

Подставим значение S в формулу для радиуса:

R = (a * (a + d) * (a + 2d)) / (4 * ((a * (a + d)) / 2))

Упростим выражение:

R = (2 * (a + 2d)) / 4 R = (a + 2d) / 2

Теперь подставим значение радиуса (R = 12,5 см) и решим уравнение:

12,5 = (a + 2d) / 2

Умножим обе части уравнения на 2:

25 = a + 2d

Таким образом, мы получаем уравнение, которое связывает первый член прогрессии (a) и шаг (d) с радиусом описанной окружности.

Для нахождения длин сторон прямоугольного треугольника, мы можем использовать различные значения a и d. Например, если a = 5 и d = 10, то длины сторон будут следующими:

5, 15, 25

Теперь мы можем найти больший перпендикуляр, используя теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

Где a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза.

Подставим значения a = 5 и b = 15:

c^2 = 5^2 + 15^2 c^2 = 25 + 225 c^2 = 250 c = √250 c ≈ 15,81

Таким образом, больший перпендикуляр прямоугольного треугольника с длинами сторон 5, 15, 25 равен примерно 15,81 см.