Question

Даны две равные касающиеся окружности. Под каким углом пересекаются прямые, одна из которых касается этих окружностей в разных точках, а вторая проходит через центр одной из окружностей и касается другой?

Answer 1

Ответ:

Прямые пересекаются под углом $30^\circ$

Объяснение:

Касательных, проведенных через центр одной окружности к другой, две (изображены на рис. розовым и фиолетовым цветами). Рассуждения будут одинаковыми.

Опустим из центров окружностей ${O_1}$ и ${O_2}$ перпендикуляры ${O_1}{H_1}$ и ${O_2}{H_2}$ на их общую касательную. Тогда ${O_1}{H_1}{H_2}{O_2}$ — прямоугольник. Значит ${H_1}{H_2}\parallel {O_1}{O_2}.$

Тогда $\angle {H_1}KF = \angle {O_1}{O_2}F.$ Но в прямоугольном треугольнике ${O_1}F{O_2}$ катет ${O_1}F$ равен радиусу окружности, а гипотенуза ${O_1}{O_2}$ соединяет центры равных окружностей, т. е. равна двум радиусам. Отсюда угол напротив катета ${O_1}F,$ $\angle {O_1}{O_2}F = 30^\circ .$

Аналогичные рассуждения можно провести и для другой касательной.

Answer 2

Пусть даны две равные касающиеся окружности O₁ и O₂. Пусть прямая l₁ касается окружности O₁ в точке A, а прямая l₂ проходит через центр окружности O₁ и касается окружности O₂ в точке B.

Для начала, обозначим радиусы окружностей O₁ и O₂ как r₁ и r₂ соответственно.

Так как окружности O₁ и O₂ равны, и прямая l₂ проходит через центр окружности O₁, то она является радиусом окружности O₁. Поэтому, отрезок OB является радиусом окружности O₂.

Также, так как прямая l₁ касается окружности O₁ в точке A, то отрезок OA является радиусом окружности O₁.

Теперь рассмотрим треугольник O₁AB. Так как OA и OB являются радиусами окружностей O₁ и O₂ соответственно, то эти отрезки равны и треугольник O₁AB является равнобедренным.

Также, так как точка A является точкой касания прямой l₁ с окружностью O₁, то угол O₁AB является прямым углом.

Таким образом, прямые l₁ и l₂ пересекаются под прямым углом.