Question

. Розв'язати задачу: Вершини трикутника ABC мають координати A(-4; -1), B(-1; 3), C(2; -1). Бісектриса кута А перетинає ВС у точці К. Знайдіть координати точки К.​

Answer 1

Ответ:

Спочатку знайдемо координати точок BС і АК:

БС: x = 2-(-1) = 3, y = (-1)-3 = -4.

АК: знайдемо середину сторони BC і позначимо її точкою M (M(0, -2)), потім знайдемо рівняння прямої АМ і перевіримо, в якій з точок ВС воно перетинає сторону ВС.

Рівняння прямої АМ: y + 1 = ((-2-(-1))/(-4-2))(x+4) ⇒ y = (-3/4)x - 1/4.

Підставляємо x = -1 (координата точки B) і отримуємо y = 3/4.

Отже, точка К має координати: K(1; -4).

Answer 2

Щоб знайти координати точки \( K \), де бісектриса кута \( A \) перетинає сторону \( BC \), можна скористатися властивістю бісектриси. Бісектриса кута ділить його на два кути, рівні за мірою. Таким чином, можна використовувати відсоткові частки для знаходження точки перетину зі стороною протилежною куту \( A \).

Для того, щоб знайти координати точки \( K \), можна виконати наступні кроки:

1. Знайти середню точку сторони \( BC \), яка буде точкою \( M \). Середня точка \( M \) між двома точками \( (x_1, y_1) \) і \( (x_2, y_2) \) знаходиться за допомогою наступних формул:

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Для відрізка \( BC \), координати точок \( B(-1, 3) \) і \( C(2, -1) \), знайдемо \( M \):

\[ M\left(\frac{-1 + 2}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1\right) \]

2. Знайдіть відстань між точками \( A \) і \( M \). Відстань між двома точками \( (x_1, y_1) \) і \( (x_2, y_2) \) обчислюється за формулою відстані між двома точками в декартовій системі координат:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для відрізка \( AM \) з координатами \( A(-4, -1) \) і \( M\left(\frac{1}{2}, 1\right) \):

\[ d = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - (-4)\right)^2 + (1 - (-1))^2} \]

Після обчислень \( d \) знайдемо відстань.

3. Знаходження координат точки \( K \) за формулою відсоткового поділу на відрізку \( BC \). Формула виглядає наступним чином:

\[ K\left(\frac{xd_2 + x_1d_1}{d_1 + d_2}, \frac{yd_2 + y_1d_1}{d_1 + d_2}\right) \]

Де \( (x_1, y_1) \) - координати точки \( B \), \( (x_2, y_2) \) - координати точки \( C \), \( d_1 \) - відстань між \( A \) і \( B \), \( d_2 \) - відстань між \( A \) і \( M \).

Підставимо відомі значення і знайдемо координати точки \( K \).