Question

ДУЖЕ СРОЧНО ПОТРІБНО У трикутнику АВС зовнішні кути при вершинах А і В рівні. Доведіть, що 2АС > АВ

Answer 1

Объяснение:
Из условия задачи<А: <В: Тогда угол А=3х, угол В=5х, угол С=4x.
< A+< B+3x +5×+4×=180
12x=180*
X=180:12
×=15*

Answer 2

Для доведення нерівності \(2AC > AB\) у трикутнику \(ABC\), де зовнішні кути при вершинах \(A\) і \(B\) рівні, можна скористатися теоремою синусів та властивостями трикутників.

Означимо за \(a\), \(b\) та \(c\) сторони трикутника \(ABC\), а за \(A\), \(B\) та \(C\) відповідні кути при вершинах.

Теорема синусів гласить: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Ми знаємо, що зовнішні кути при вершинах \(A\) і \(B\) рівні, тобто \(C = A + B\). Підставимо це у теорему синусів: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin (A + B)} \]

Розглянемо вираз \(\frac{a}{\sin A}\). Ми можемо переписати його як \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{\sin B}{\sin A}\).

Отже, ми отримаємо: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{AC}{AB} \]

Тепер ми можемо записати теорему синусів для кута \(B\): \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{AC}{\sin (A + B)} = \frac{AC}{\sin C} \]

Отже, ми отримуємо: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{b}{\sin B} \cdot \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{\sin C} \cdot \frac{AC}{AB} \]

Це можна спростити до: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{AC^2}{AB \sin C} \]

Оскільки \(\sin C = \sin (A + B) = \sin (180^\circ - C) = \sin C\), ми можемо поділити обидві сторони на \(\sin C\): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{AC^2}{AB \sin C} \implies \frac{a}{\sin A \sin C} = \frac{AC}{AB} \]

Тепер використаємо той факт, що \(\sin A \sin C = \frac{1}{2}(\cos(A - C) - \cos(A + C))\) (формула подвійного аргументу для синусу): \[ \frac{a}{\frac{1}{2}(\cos(A - C) - \cos(A + C))} = \frac{AC}{AB} \]

Помножимо обидві сторони на 2 та підставимо, що \(C = A + B\): \[ \frac{2a}{\cos(A - C) - \cos(A + C)} = \frac{2AC}{AB} \implies \frac{2a}{\cos(B) - \cos(2A + B)} = \frac{2AC}{AB} \]

Спростимо подальше: \[ \frac{a}{\cos(B) - \cos(2A + B)} = \frac{AC}{AB} \implies \frac{a}{\cos(B) + \cos(B)} = \frac{AC}{AB} \implies \frac{a}{2\cos(B)} = \frac{AC}{AB} \]

Отже, \[ \frac{AB}{2} = AC \cos(B) \implies AC = \frac{AB}{2\cos(B)} \]

Тепер виразимо \(\cos(B)\) через \(\cos(A)\) (оскільки \(C = A + B\)): \[ \cos(C) = \cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) \]

Отже, \[ \cos(B) = \frac{\cos(A) - \cos(C)}{\sin(A)\sin(B)} = \frac{\cos(A) - \cos(A + B)}{\sin(A)\sin(B)} \]

Спростимо: \[ \cos(B) = -\frac{\cos(A)}{\sin(A)\sin(B)} \]

Тепер підставимо це в наше вираження для \(AC\): \[ AC = \frac{AB}{2\cos(B)} = -\frac{AB}{2\cos(A)} = -\frac{AB}{2\cos(A)} \]

Зауважте, що \(\cos(A) < 0\), оскільки зовнішній кут при вершині \(A\), а отже, \(-\frac{AB}{2\cos(A)} > 0\).

Отже, дійсно виконується нерівність \(2AC > AB\).