Question

Y" + 5y' + 4y = 16x + 20e*, y(0) = 0, y'(0) = 3​

Answer 1

Ответ:

y' + 5y' + 4y = 16x + 20e" y(0) = 0, y'(0) = 3 (n) =0, 7/0 =3 (027, 10) =2

Answer 2

Из вашего вопроса я вижу, что у вас есть дифференциальное уравнение, которое вы хотите решить, а также начальные условия для этого уравнения. Позвольте мне разобрать ваше уравнение и найти его решение.

У вас есть следующее дифференциальное уравнение: 5y'' + 4y' = 16x + 20e^x

где y'' обозначает вторую производную функции y по x, а y' обозначает первую производную функции y по x.

Также у вас есть начальные условия: y(0) = 0 и y'(0) = 3

Решение:

Для решения этого дифференциального уравнения, мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных.

Шаг 1: Найдите общее решение однородного уравнения.

Однородное уравнение получается путем замены правой части нулем: 5y'' + 4y' = 0

Для решения этого уравнения, предположим, что y имеет вид y = e^rx, где r - неизвестная константа.

Теперь возьмем первую и вторую производные функции y по x: y' = re^rx y'' = r^2e^rx

Подставляя эти выражения в исходное однородное уравнение, получаем: 5r^2e^rx + 4re^rx = 0

Факторизуем это уравнение: e^rx(5r^2 + 4r) = 0

Так как e^rx никогда не равно нулю, мы можем установить, что: 5r^2 + 4r = 0

Факторизуя это уравнение, получаем: r(5r + 4) = 0

Решая это уравнение, мы получаем два значения для r: r1 = 0 и r2 = -4/5

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения: y_h = C1e^0x + C2e^(-4/5)x

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения.

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных. Поскольку правая часть уравнения содержит x и e^x, предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax + Be^x, где A и B - неизвестные константы.

Теперь возьмем первую и вторую производные функции y_p по x: y'_p = A + Be^x y''_p = Be^x

Подставляя эти выражения в исходное неоднородное уравнение, получаем: 5(Be^x) + 4(A + Be^x) = 16x + 20e^x

Раскрывая скобки и собирая похожие члены, получаем: (4A + 5B)e^x + (5B + 4A) = 16x + 20e^x

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях e^x и x, получаем следующую систему уравнений: 4A + 5B = 0 (коэффициент при e^x) 5B + 4A = 16 (коэффициент при x)

Решая эту систему уравнений, мы находим A = -4 и B = 5/4.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: y_p = -4x + (5/4)e^x

Шаг 3: Найдите общее решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y = y_h + y_p

y = C1e^0x + C2e^(-4/5)x - 4x + (5/4)e^x

Шаг 4: Найдите значения произвольных постоянных, используя начальные условия.

У вас есть начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 3.

Подставляя эти значения в общее решение, получаем систему уравнений: C1 + C2 - 0 - 4(0) + (5/4)e^0 = 0 C1 + C2 = 0

C1 + C2(0) - 4 - 4(0) + (5/4)e^0 = 3 C1 - 4 = 3

Решая эту систему уравнений, мы находим C1 = 7 и C2 = -7.

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения с начальными условиями: y = 7e^0x - 7e^(-4/5)x - 4x + (5/4)e^x

Это подробное решение вашего дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!