Question

Сторона трикутника дорівнює 29 см, а висоти, проведені до інших сторін відносяться, як 25 : 6. Знайти площу трикутника і радус вписаного в нього кола, якщо периметр трикутника 60см

Answer 1

Відповідь:

Позначимо сторони трикутника через a, b і c, відповідні висоти через ha, hb і hc, а площу трикутника через S. За формулою для площі трикутника S = (1/2) * a * ha, отже ми повинні знайти висоту, що відповідає стороні довжиною 25.

Оскільки висота, проведена до сторони довжиною 29, є опущеною, то ми можемо вважати, що висота, проведена до сторони довжиною 6, є висотою на бічний катет прямокутного трикутника з катетами 6 і x, де x - довжина відрізку, на який ділиться сторона довжиною 29 відповідно до умови задачі. За теоремою Піфагора, (x^2) + 6^2 = 29^2, звідки отримуємо x = 28.

Отже, висота, що відповідає стороні довжиною 25, дорівнює 28, і ми можемо знайти площу трикутника:

S = (1/2) * a * ha = (1/2) * 29 * 28 = 406 кв.см

Тепер знайдемо радіус кола, що вписане в цей трикутник. За формулою r = S/p, де p - півпериметр трикутника, отримаємо:

p = (a + b + c)/2 = 60/2 = 30 см

r = S/p = 406/30 = 13.533 см (округлено до тисячних)

Отже, площа трикутника дорівнює 406 кв.см, а радіус вписаного кола дорівнює 13,533 см.

Пояснення:

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника через \( a \), \( b \) и \( c \), а высоты, проведенные к ним, через \( h_a \), \( h_b \) и \( h_c \). Пусть \( p \) - полупериметр треугольника, то есть \( p = \frac{a + b + c}{2} \).

Из условия известно, что сторона треугольника равна 29 см: \( c = 29 \) см.

Также известно, что высоты, проведенные к сторонам, относятся как 25:6:

\[ \frac{h_a}{25} = \frac{h_b}{6} \]

Теперь найдем стороны треугольника. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \]

Так как \( h_a = \frac{25}{6} \cdot h_b \), подставим это значение:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{25}{6} \cdot h_b\right) \]

Теперь выразим \( a \) через \( b \) и \( c \) с использованием теоремы Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник:

\[ a^2 = b^2 + h_b^2 \]

Также известно, что \( c = 29 \) см.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( a \) и \( h_b \)), и мы можем решить их.

1. \( a^2 = b^2 + \left(\frac{25}{6} \cdot h_b\right)^2 \) 2. \( a + b + 29 = 60 \) (периметр треугольника)

Решив систему уравнений, мы найдем \( a \), \( b \) и \( h_b \).

После этого можно найти площадь треугольника (\( S \)) и радиус вписанного в него круга (\( r \)).

1. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{25}{6} \cdot h_b\right) \]

2. Радиус вписанного в него круга: \[ r = \frac{S}{p} \]

Где \( p = \frac{a + b + c}{2} \) - полупериметр треугольника.

Таким образом, следует решить систему уравнений, чтобы найти значения сторон треугольника и высоты, после чего можно будет найти площадь и радиус вписанного круга.