Question

Средняя лини равнобокой трапеции равна m. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 120 градусов. Найдите высоту и диагональ трапеции.

Answer 1

Средняя линия равнобокой трапеции равна m. Боковая сторона видна из центра окружности под углом 120° . Найдите высоту и диагональ трапеции.

Объяснение .

1) Центральный угол <AOB=120°, значит дуга UAB=120°.

Вписанный угол <ADB=60°, по свойству вписанного угла. Тогда <CAD=60°, тк трапеция равнобедренная.

2) Пусть СН- высота, AD=a, BC=в .По свойству равнобедренной трапеции

АН=(а+в)/2. И по условию это равно m, тк средняя линия трапеции вычисляется по формуле (а+в)/2.

3) АСН - прямоугольный,

<ACH=90°-<DAC=90°-60°=30° , AH=m.

По свойству угла в 30°, имеем АС=2m. sin<CAD=CH/AC ,

CH=2m•sin60=m√3 .

Ответ d=m√3, h=m.

Answer 2

Давайте обозначим элементы трапеции:

- \( AB \) и \( CD \) - основания трапеции (где \( AB \) длиннее, чем \( CD \)), - \( BC \) и \( AD \) - боковые стороны трапеции, - \( h \) - высота трапеции, - \( AC \) и \( BD \) - диагонали трапеции, - \( O \) - центр описанной окружности.

Из условия задачи известно, что боковая сторона \( BC \) видна из центра описанной окружности под углом \( 120^\circ \). Так как угол вписанной окружности в полукруге равен \( 180^\circ \), то угол \( BOC \) равен \( 60^\circ \).

Также мы знаем, что средняя линия трапеции \( EF \) равна \( m \). Средняя линия трапеции делит основания \( AB \) и \( CD \) пополам, поэтому \( AE = BF = \frac{AB}{2} \).

Теперь мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике \( BOC \):

\[ BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(60^\circ) \]

Также, поскольку \( BO = CO \), формула упрощается:

\[ BC^2 = 2 \cdot BO^2 - BO^2 \]

\[ BC^2 = BO^2 \]

Теперь давайте выразим \( BC \) через известные элементы трапеции:

\[ BC^2 = \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2 + h^2 \]

Подставим это выражение в уравнение с косинусом:

\[ \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2 + h^2 = \frac{AB^2}{2} \]

Упростим:

\[ \frac{AB^2 - 2 \cdot AB \cdot CD + CD^2}{4} + h^2 = \frac{AB^2}{2} \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ AB^2 - 2 \cdot AB \cdot CD + CD^2 + 4 \cdot h^2 = 2 \cdot AB^2 \]

Распишем \( AB^2 \) и упростим:

\[ CD^2 + 4 \cdot h^2 = AB \cdot CD \]

Теперь у нас есть выражение для диагонали \( CD \).

Теперь обратим внимание на треугольник \( BOC \). Мы уже знаем, что угол \( BOC \) равен \( 60^\circ \), а стороны \( BC \) и \( BO \) равны. Мы можем использовать теорему косинусов:

\[ AC^2 = BC^2 + BO^2 - 2 \cdot BC \cdot BO \cdot \cos(60^\circ) \]

Учитывая, что \( BC = BO \) и угол \( BOC \) равен \( 60^\circ \), это уравнение упрощается:

\[ AC^2 = BC^2 \]

Таким образом, \( AC = BC \).

Таким образом, мы нашли, что диагональ \( AC \) трапеции равна боковой стороне \( BC \).

Теперь мы знаем, что \( AC = BC \), и можем подставить это в наше выражение для диагонали \( CD \):

\[ CD^2 + 4 \cdot h^2 = AC \cdot CD \]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными \( CD \) и \( h \). Решив ее, мы найдем значения диагонали \( CD \) и высоты \( h \).