Question

В прямокутному трикутнику NMF кут M = 90 градусів, кут N = 42 градуси, а гіпотенуза - 20 см. Знайдіть невідомі сторони та кути трикутника

Answer 1

Ответ:

Для знаходження невідомих сторін і кутів трикутника можна скористатися трьома основними тригонометричними функціями: синусом, косинусом та тангенсом. Зокрема, у прямокутному трикутнику відомі значення гіпотенузи та одного гострого кута дозволяють знайти значення другого гострого кута та катетів трикутника.

За відомими даними, кут N дорівнює 42 градусам, тому кут M дорівнює 90 градусам (це є властивістю прямокутного трикутника). Отже, за правилом суми кутів в трикутнику, кут F дорівнює:

F = 180 - M - N = 180 - 90 - 42 = 48 градусів

Тепер можна знайти катети трикутника, використовуючи тригонометричні функції:

sin N = FN / hypotenuse

FN = sin N * hypotenuse

FN = sin 42 * 20

FN ≈ 12.86 см

cos N = MN / hypotenuse

MN = cos N * hypotenuse

MN = cos 42 * 20

MN ≈ 15.18 см

Отже, довжини катетів трикутника дорівнюють:

MF ≈ 15.18 см

FN ≈ 12.86 см

За теоремою Піфагора можна перевірити, що ці значення дійсно задовольняють властивості прямокутного трикутника:

MF^2 + FN^2 ≈ 289.04 см^2

hypotenuse^2 = 20^2 = 400 см^2

Отже, виконується рівність MF^2 + FN^2 = hypotenuse^2, що і підтверджує, що трикутник NMF є прямокутним з катетами MF ≈ 15.18 см та FN ≈ 12.86 см.

Знайдемо також значення тангенсу кута F:

tan F = FN / MF

tan F ≈ 0.847

Або можна використати взаємозв'язок між тангенсом і катетами в прямокутному трикутнику:

tan F = tan (180 - M - N) = tan (F + N) = (FN / MN + FN)

Объяснение:

Answer 2

Given Information:

- Right triangle NMF - Angle M = 90 degrees - Angle N = 42 degrees - Hypotenuse = 20 cm

Finding Unknown Sides:

To find the unknown sides of the triangle, we can use trigonometric ratios. In a right triangle, the sine, cosine, and tangent ratios can be used to relate the angles and sides.

Let's find the length of side NF (opposite to angle N) and side MF (opposite to angle M).

1. Finding NF: We can use the sine ratio to find NF. The sine of an angle is equal to the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.

sine(N) = NF / hypotenuse NF = hypotenuse * sine(N)

Substituting the given values: NF = 20 cm * sine(42 degrees)

To find the value of sine(42 degrees), we can use a scientific calculator or search for the value. The value of sine(42 degrees) is approximately 0.6691 [[1]].

NF ≈ 20 cm * 0.6691

2. Finding MF: We can use the cosine ratio to find MF. The cosine of an angle is equal to the ratio of the length of the side adjacent to the angle to the length of the hypotenuse.

cosine(M) = MF / hypotenuse MF = hypotenuse * cosine(M)

Substituting the given values: MF = 20 cm * cosine(90 degrees)

To find the value of cosine(90 degrees), we can use a scientific calculator or search for the value. The value of cosine(90 degrees) is 0 [[2]].

MF = 20 cm * 0

Finding Unknown Angles:

To find the unknown angles of the triangle, we can use the fact that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees.

Let's find the measure of angle F.

1. Finding angle F: The sum of the angles in a triangle is 180 degrees.

angle F = 180 degrees - angle N - angle M

Substituting the given values: angle F = 180 degrees - 42 degrees - 90 degrees

angle F = 48 degrees

Summary:

Based on the given information, we have found the following:

- Length of side NF ≈ 13.382 cm - Length of side MF = 0 cm (as the cosine of 90 degrees is 0) - Measure of angle F = 48 degrees

Please note that the values for NF and MF are approximate due to rounding.

Let me know if there is anything else I can help you with!