Question

Кут між векторами a і b дорівнює 120°, |а|=|b|=1. Знайдіть скалярний добуток (a+b)×2b

Answer 1

Спочатку знайдемо вектори (a+b) і 2b:
a + b = |a|cos(120°) + |b|cos(120°) + (|a|sin(120°) + |b|sin(120°)) =
-1/2 + (-1/2)i + (√3/2 - 1/2)j

2b = 2|b|cos(0°) + 2|b|sin(0°) = 2i

Тепер знайдемо їх скалярний добуток:
(a+b) × 2b = (-1/2 + (-1/2)i + (√3/2 - 1/2)j) × 2i

Застосуємо формулу для векторного добутку:

(a+b) × 2b = (2|b|)(-1/2)(0) + (2|b|)(√3/2)(0) + (2|b|)(-1/2)(-1) - (2|b|)(√3/2)(-i) + (2|b|)(√3/2)(-j) + (2|b|)(-1/2)(-k)

(a+b) × 2b = |b|(√3i + j - k)

Отже, скалярний добуток (a+b) × 2b дорівнює |b|(√3i + j - k).

Answer 2

Для розв'язання даної задачі спочатку знайдемо векторне добуток між (a+b) та 2b. Векторний добуток визначається за формулою:

(a+b) × 2b = a × 2b + b × 2b

Далі, знайдемо окремо векторні добутки a × 2b та b × 2b. Для цього використовуємо правило векторного добутку:

a × b = |a| * |b| * sin(θ) * n

де |a| та |b| - довжини векторів a та b, θ - кут між векторами a та b, n - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами a та b.

Оскільки задано, що кут між векторами a і b дорівнює 120°, а довжини векторів a і b одиничні, ми можемо використовувати ці значення для обчислень.

Знайдемо векторний добуток a × 2b:

|a| = |b| = 1

sin(120°) = √3/2 (за тригонометричними значеннями для 120°)

n - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами a та b. Знайдемо його шляхом виконання векторного добутку між a та b:

n = a × b

Тепер можемо обчислити векторний добуток a × 2b:

a × 2b = |a| * |2b| * sin(120°) * n

a × 2b = 1 * 2 * (√3/2) * n

a × 2b = √3 * n

Знайдемо векторний добуток b × 2b:

|b| = 1

sin(0°) = 0 (за тригонометричними значеннями для 0°)

n - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами b та 2b. Знайдемо його шляхом виконання векторного добутку між b та 2b:

n = b × 2b

Тепер можемо обчислити векторний добуток b × 2b:

b × 2b = |b| * |2b| * sin(0°) * n

b × 2b = 1 * 2 * 0 * n

b × 2b = 0

Знайдемо суму векторних добутків (a+b) × 2b:

(a+b) × 2b = (a × 2b) + (b × 2b)

(a+b) × 2b = (√3 * n) + 0

(a+b) × 2b = √3 * n

Таким чином, скалярний добуток (a+b) × 2b дорівнює √3 * n, де n - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами a та b.