Question

Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а медіана проведена до нього 4√2 см. Знайдіть площю трикутника.(з малюнком будь ласка)

Answer 1

Розвязання задачі на фото

Answer 2

Задача включает в себя прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен 8 см, а медиана, проведенная к этому катету, равна 4√2 см. Давайте рассмотрим этот вопрос более подробно.

1. Информация из задачи: - Длина катета \( a = 8 \) см. - Длина медианы, проведенной к этому катету \( m = 4\sqrt{2} \) см.

2. Определение треугольника: Рассматриваем прямоугольный треугольник, где медиана проведена к одному из катетов.


3. Связь медианы и катета: Медиана, проведенная к катету, делит этот катет на две равные части. Таким образом, мы можем представить катет в виде двух отрезков длиной \( \frac{a}{2} \). Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: один с катетом \( \frac{a}{2} \), а другой с гипотенузой \( m \) и катетом \( \frac{a}{2} \).


4. Применение теоремы Пифагора: Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \( c \) - гипотенуза, \( a \) и \( b \) - катеты.

Применяем теорему Пифагора к каждому из треугольников: - Для треугольника с катетом \( \frac{a}{2} \): \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \] - Для треугольника с гипотенузой \( m \) и катетом \( \frac{a}{2} \): \[ m^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 \]

5. Нахождение неизвестных: - Из первого уравнения получаем: \( \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = a^2 \), что сокращается до \( a^2 = a^2 \) - верно. - Подставляем \( m = 4\sqrt{2} \) во второе уравнение и решаем относительно \( b \): \[ (4\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 \] \[ 32 = \frac{a^2}{4} + b^2 \] \[ 32 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} \] \[ 32 = \frac{a^2}{2} \] \[ a^2 = 64 \] \[ a = 8 \]

6. Нахождение площади треугольника: Теперь, когда мы знаем длину обоих катетов, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \) квадратных сантиметра.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 32 квадратным сантиметрам.