Question

Знайдіть величину кута А трикутника АВС, якщо А(2;-2;-3), В (4;- 2;- 1), С (2; 2; 1).

Answer 1

Даны вершины А(2;-2;-3), В (4;- 2;- 1), С (2; 2; 1).

Находим векторы:

АВ = В (4;- 2;- 1) - А(2;-2;-3) = (2; 0; 2).

Модуль АВ = √(2² + 0² + 2²) = √8 = 2√2.

АС = С (2; 2; 1) - А(2;-2;-3) = (0; 4; 4).

Модуль АС = √(0² + 4² + 4²) = √32 = 4√2.

Теперь находим косинус угла А.

cos A = (2*0 + 0*4 + 2*4)/(2√2*4√2) = 8/16 = 1/2.

Угол А = arccos(1/2) = 60 градусов.

Answer 2

Щоб знайти величину кута \( А \) трикутника \( ABC \), можна використовувати векторні методи. Основна ідея полягає в тому, що кут між векторами можна знайти за допомогою скалярного добутку векторів і формули для косинуса кута між векторами.

1. Спочатку знайдемо вектори \( \vec{AB} \) і \( \vec{AC} \). Віднімемо координати точки \( A \) від координат точки \( B \) і точки \( C \):

\[ \vec{AB} = \begin{bmatrix} 4 - 2 \\ (-2) - (-2) \\ (-1) - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \]

\[ \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 - 2 \\ 2 - (-2) \\ 1 - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix} \]

2. Тепер знайдемо скалярний добуток \( \vec{AB} \) і \( \vec{AC} \):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2 \cdot 0) + (0 \cdot 4) + (2 \cdot 4) = 8 \]

3. Використовуючи формулу для косинуса кута між векторами \( \vec{AB} \) і \( \vec{AC} \):

\[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|} \]

де \( \|\vec{AB}\| \) і \( \|\vec{AC}\| \) - довжини векторів \( \vec{AB} \) і \( \vec{AC} \) відповідно.

Знаходження довжин векторів:

\[ \|\vec{AB}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} \]

\[ \|\vec{AC}\| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} \]

4. Підставимо значення до формули:

\[ \cos \theta = \frac{8}{\sqrt{8} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

5. Знайдемо значення кута \( \theta \):

\[ \theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \]

Зауважте, що є два можливих значення для \( \theta \), але ми вибираємо значення, яке лежить в інтервалі \( [0, \pi] \).

\[ \theta \approx 1.107 \text{ радіан} \]

Отже, величина кута \( A \) трикутника \( ABC \) приблизно дорівнює 1.107 радіанам.