Question

На продовженні сторони AD паралелограму ABCD за точку D позначено точку M так, що AD=MD. Доведіть що паралелограм ABCD і трикутник ABM рівновеликі.

Answer 1

Ответ:

Для доведення рівновеликості паралелограму ABCD і трикутника ABM, ми можемо довести, що їх площі рівні.

Позначимо сторони паралелограму: AB = c, BC = a, CD = c, DA = b.

Так як BC || AD і AM є бісектрисою кута BAD, то відповідні кути паралелограму та трикутника відповідно рівні. Таким чином, ми можемо скористатися формулою для площі трикутника через дві сторони та кут між ними:

S(ABM) = 0.5 * c * DM * sin(BAD)

Аналогічно, оскільки AB || DC і MD є бісектрисою кута MDC, ми можемо записати:

S(ACD) = 0.5 * c * DM * sin(CDM)

Оскільки MD = AD, то ми можемо записати CDM = BAD, тому:

S(ACD) = 0.5 * c * DM * sin(BAD)

А чому більше: ABCD - паралелограм, тому його діагоналі поділяються відповідним чином. Тобто AM = DC = c

Тоді:

S(ABM) = S(ACD)

Тому ми довели, що площі паралелограму ABCD та трикутника ABM є рівні, що означає їх рівновеликість.

Answer 2

Для доведення рівновеликості паралелограма ABCD та трикутника ABM, використаємо властивості паралелограма та трикутника.

За умовою, ad=md. Оскільки ad - діагональ паралелограма ABCD, то вона ділить його на 2 рівні трикутники (про це можна сказати за властивістю паралелограма, що каже, що діагоналі паралелограма ділять його на 2 рівні трикутники).

Таким чином, ми можемо припустити, що AM - перпендикуляр перетинає BC в точці N.

Оскільки AM - перпендикуляр, то кут ABM прямий кут.

Також, за властивістю паралелограма, протилежні кути паралелограма рівні. Отже, кути ABD та BCD також прямі (AB і CD - паралельні сторони).

Таким чином, ми маємо, що трикутник ABM - прямокутний, так як має прямий кут, та кути ABD і BCD також прямі.

Крім того, ми маємо AD = DM за умовою.

Тепер покажемо, що сторони трикутника ABM рівні сторонам паралелограма ABCD.

AM = AM - спільна сторона обох фігур

AB = AB -спільна сторона обох фігур

Таким чином, маємо, що AM = AB, Аі сідцем ми можемо стверджувати, що трикутник ABM рівновеликий з паралелограмом ABCD.

Отже, паралелограм ABCD і трикутник ABM рівновеликі.