Question

З точки А до кола з центром О проведено дві дотичні АВ і АС (ВС- точки дотику). Радіус кола дорівнює 5,6 см, <ВАС = 60°. Чому дорівнює відстань від точки А до центра кола? Варианты ответа: 2,8 см 11,2 см 7 см 9 CM

Answer 1

Ответ:

Відстань від точки А до центра кола дорівнює 11,2 см

Объяснение:

З точки А до кола з центром О проведено дві дотичні АВ і АС (В і С- точки дотику). Радіус кола дорівнює 5,6 см, ∠ВАС = 60°. Чому дорівнює відстань від точки А до центра кола?

• Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику.
• Катет прямокутного трикутника, що лежить навпроти кута кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Розв'язання

1) ОВ=ОС=R, АВ⟂ОВ, АС⟂ОС - як дотичні до кола, тому △АВО і △АСО - прямокутні.

2) △АВО=△АСО за гіпотенузою і катетом (ОВ = ОС як радіуси, АО - спільна)

⇒ ∠ВАО=∠САО=∠ВАС : 2 = 60° : 2 = 30°.

3) В прямокутному трикутнику АВО катет ВО лежить навпроти кута ∠ВАО=30°, отже:

ВО = ½ • АО

АО = 2 • ВО = 2 • 5,6 = 11,2 (см)

Відповідь: 11,2 см

#SPJ1

Answer 2

Давайте обозначим точку касания отрезка АВ с окружностью точкой D, а точку касания отрезка АС точкой E. Также обозначим центр окружности точкой O, радиус окружности — r (в данном случае r = 5,6 см).

Так как AB и AC — дотичные, они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания. Таким образом, углы BOD и COE являются прямыми углами.

Также, поскольку угол BAC равен 60°, углы BOD и COE тоже равны 60° (так как углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны).

Теперь у нас есть два треугольника BOD и COE, которые являются прямоугольными треугольниками с углами 60°. Такие треугольники называются 30-60-90 треугольниками, и их соотношение сторон следующее: сторона, противолежащая углу 30°, равна \( \frac{1}{2} \) гипотенузы, а сторона, противолежащая углу 60°, равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы.

Таким образом, BD = \(\frac{1}{2} \times r\), а BE = \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times r\).

Теперь, найдем расстояние от точки A до центра O. Это расстояние равно сумме BD и BE:

\[ AO = BD + BE = \frac{1}{2} \times r + \frac{\sqrt{3}}{2} \times r \]

Подставим известное значение r:

\[ AO = \frac{1}{2} \times 5,6 \, см + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5,6 \, см \]

\[ AO = 2,8 \, см + 2,8 \sqrt{3} \, см \]

Это значение нельзя упростить дальше, так что точный ответ на вопрос о расстоянии от точки A до центра кола равен \(2,8 \, см + 2,8 \sqrt{3} \, см\).

Если вам нужен числовой ответ, вы можете приблизить его, используя приближенное значение для \(\sqrt{3}\), которое равно примерно 1,73:

\[ AO \approx 2,8 \, см + 2,8 \times 1,73 \, см \]

\[ AO \approx 2,8 \, см + 4,844 \, см \]

\[ AO \approx 7,644 \, см \]

Таким образом, ближайший числовой ответ — примерно \(7,6 \, см\).