Question

Докажите что у параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 параллельны плоскости 1)ABB1 и CDD1 2) AB1D1 и BDC1

Answer 1

Ответ:

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Все грани параллелепипеда - параллелограммы.

1) АВ║CD,  BB₁║CC₁ как противоположные стороны параллелограммов,

AB∩BB₁ = B, CD∩CC₁ = C, значит

(АВВ₁)║(CDD₁) по признаку параллельности плоскостей.

2) BB₁║DD₁, BB₁ = DD₁ как боковые ребра параллелепипеда, значит

BB₁D₁D - параллелограмм, ⇒ B₁D₁║BD.

АВ║A₁B₁ и АВ = А₁В₁,  C₁D₁║A₁B₁ и C₁D₁ = A₁B₁ как стороны параллелограммов, ⇒ АВ║C₁D₁ и AB = C₁D₁, значит ABC₁D₁ параллелограмм, ⇒ AD₁║BC₁.

B₁D₁∩AD₁ = D₁ и BD∩BC₁ = B, значит

(AB₁D₁)║(BDC₁) по признаку параллельности плоскостей.

Answer 2

Чтобы доказать параллельность данных плоскостей, необходимо показать, что их нормали коллинеарны.

1) Плоскости abb1 и cdd1: Пусть a, b, c, d - вершины параллелепипеда. Вектор, соединяющий вершины a и b, равен ab = b - a. Вектор, соединяющий вершины b и b1, равен bb1 = b1 - b. Вектор, соединяющий вершины b и d, равен bd = d - b.

Правило векторного произведения гласит, что если два вектора u и v коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору (u x v = 0).

Найдем векторное произведение ab x bb1: (ab x bb1) = (b - a) x (b1 - b) = [(b - a) x (b1 - b)] - [(b - a) x (b - b1)] = (b - a) x (b1 - b) - (a - b) x (b - b1) = (b - a) x (b1 - b) + (b - a) x (b1 - b) = 0

Таким образом, нормаль векторного произведения ab x bb1 равна нулевому вектору, что означает, что векторы ab и bb1 коллинеарны. Это означает, что плоскости abb1 и cdd1 параллельны.

2) Плоскости ab1d1 и bdc1: Пусть a1, b1, c1, d1 - вершины параллелепипеда. Вектор, соединяющий вершины a1 и b, равен a1b = b - a1. Вектор, соединяющий вершины a1 и d1, равен a1d1 = d1 - a1. Вектор, соединяющий вершины b и c1, равен bc1 = c1 - b.

Аналогично первому пункту, найдем векторное произведение a1b x bc1: (a1b x bc1) = (b - a1) x (c1 - b) = [(b - a1) x (c1 - b)] - [(b - a1) x (b - c1)] = (b - a1) x (c1 - b) - (a1 - b) x (b - c1) = (b - a1) x (c1 - b) + (b - a1) x (c1 - b) = 0

Таким образом, нормаль векторного произведения a1b x bc1 равна нулевому вектору, что означает, что векторы a1b и bc1 коллинеарны. Это означает, что плоскости ab1d1 и bdc1 параллельны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости abb1 и cdd1, а также плоскости ab1d1 и bdc1 параллельны.