Question

основа прямої призми - ромб зі стороною 8 см і кутом 60° менша діагональ призми дорівнює 17 см знайдіть об'єм призми​

Answer 1

Ответ:

$480\sqrt{3}$ см³.

Объяснение:

Пусть дана прямая призма $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

ABCD- ромб.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

$V=S\cdot H$

Площадь основания, площадь ромба найдем по формуле:

$S= a^{2} \cdot sin\alpha ,$    где a- сторона ромба, а α - угол ромба.

Значит,

$S= 8^{2} \cdot sin60^{0} =64\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{64\cdot \sqrt{3} }{2}=32\sqrt{3}$  см².

Найдем высоту ромба. Для этого найдем диагональ ромба  BD.

Рассмотрим Δ АBD - равнобедренный, так как АВ= АD. Если ∠А=60°, то Δ АBD- равносторонний.

Тогда BD=8 см.

Рассмотрим Δ $D_{1} DB$ - прямоугольный. Найдем катет$D_{1} D$ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BD_{1} ^{2} = BD^{2} +DD_{1}^{2}; \\\\D_{1} D^{2} =BD_{1} ^{2}- BD^{2} ;\\\\D_{1} D=\sqrt{BD_{1} ^{2}- BD^{2} } ;\\\\D_{1} D=\sqrt{17^{2} -8^{2} } =\sqrt{(17-8)(17+8)} =\sqrt{9\cdot 25} =3\cdot5=15$

Значит, высота призмы равна 15 см.

Тогда объем призмы будет:

$V= 32\sqrt{3} \cdot 15=480\sqrt{3}$ см³.

$\displaystyle \begin{array}{r}\underline{\times\begin{array}{r}32 \\ 15\end{array}} \\ \underline{+\begin{array}{r}160 \\ 32~\;\end{array} } \\ 480 \hspace{6pt} \end{array}$

Answer 2

Об'єм прямої призми можна знайти за формулою:

V = S_base * h,

де S_base - площа основи призми, а h - її висота.

В даному випадку основа призми - ромб зі стороною 8 см. Площа ромба може бути знайдена за формулою:

S_base = (d1 * d2) / 2,

де d1 і d2 - діагоналі ромба.

Діагоналі ромба можна знайти за відомими величинами - стороною ромба (8 см) і кутом між діагоналями (60°).

Спершу знайдемо одну з діагоналей, діагональ d1:

d1 = 2 * (сторона ромба) * sin(кут між діагоналями / 2) d1 = 2 * 8 см * sin(60° / 2) d1 = 2 * 8 см * sin(30°) d1 = 2 * 8 см * 0.5 d1 = 8 см

Тепер знайдемо іншу діагональ, d2, яка дорівнює 17 см (відомо з умови).

Тепер, маючи довжини обох діагоналей, можна знайти площу основи S_base:

S_base = (d1 * d2) / 2 S_base = (8 см * 17 см) / 2 S_base = 68 см²

Тепер нам потрібно знайти висоту призми, щоб розрахувати об'єм. Для цього ми можемо використовувати трикутник, утворений однією із діагоналей і половиною висоти призми. Висота призми розділена на дві рівні частини, і ми шукаємо половину висоти.

h_half = (d1 / 2) * tan(кут між діагоналями / 2) h_half = (8 см / 2) * tan(60° / 2) h_half = 4 см * tan(30°) h_half = 4 см * 0.5774 (округлимо до чотирьох знаків після коми) h_half ≈ 2.3096 см

Тепер ми можемо знайти повну висоту призми, подвоївши h_half:

h = 2 * h_half h = 2 * 2.3096 см h ≈ 4.6192 см

Зараз ми можемо розрахувати об'єм призми, використовуючи площу основи і висоту:

V = S_base * h V = 68 см² * 4.6192 см V ≈ 314.1264 см³

Отже, об'єм даної призми приблизно дорівнює 314.13 кубічним сантиметрам.