Question

Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці M. Знайдіть площу трикутника AMD, якщо BC:AD=3:4, а площа трапеції дорівнює 14см2

Answer 1

Пусть точка пересечения боковых сторон AB и CD обозначена как M, а точки пересечения AM и BC, DM и BC обозначены как P и Q соответственно.

Так как треугольник AMD и треугольник ABC подобны (по двум углам), то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон:

S(AMD)/S(ABC) = (AM/AB)^2 = (DM/DC)^2

Заметим, что треугольники AMP и QDM также подобны треугольнику ABC. Значит:

AM/AB = PM/BC и DM/DC = QM/BC

Так как BC:AD=3:4, то BC/AD=3/4. Заметим, что в треугольниках ABC и APB соответственные стороны имеют отношение 3:4. Значит, треугольники ABC и APB подобны с коэффициентом 3:4. Аналогично, треугольники DBC и BQD подобны с коэффициентом 3:4.

Таким образом, AM/AB = 3/7 и DM/DC = 3/7.

Обозначим через h высоту трапеции ABCD. Тогда её основания имеют длины AB = 7h/5 и CD = 21h/5.

Площадь треугольника ADC равна (AD*DC*h)/2, а площадь треугольника ABC равна (AB*BC*h)/2. Следовательно,

S(ABC) + S(ADC) = (AB*BC + AD*DC)*h/2 = 14 см^2

или

(7h/5)*(BC*h)/2 + (4h/5)*(DC*h)/2 = 14 см^2

3/5*BC*DC*h^2 = 14 см^2

BC*DC*h/2 = 28/3 см^2

Так как DM/DC = 3/7, то DM = 3h/5 и DC = 7h/5. Поэтому, h = 5*sqrt(14)/7 см, BC = 3*sqrt(14) см, DC = 7*sqrt(14)/3 см, DM = 3*sqrt(14)/5 см, AM = 4*sqrt(14)/5 см, PM = 1*sqrt(14)/5 см, QM = 2*sqrt(14)/3 см.

Наконец, S(AMD) = (DM*AM)/2 = 4 см^2. Ответ: 4 см^2.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи та висоти.

Позначимо довжини основ трапеції AB і CD як a і b відповідно, а висоту трапеції як h. Також позначимо довжину відрізка BC як x.

Оскільки BC:AD = 3:4, то ми можемо записати, що BC = 3x і AD = 4x.

Також нам дано, що площа трапеції ABCD дорівнює 14 см². Використовуючи формулу для площі трапеції, отримуємо:

14 = ((a + b) * h) / 2.

Оскільки AM є середньою лінією трапеції ABCD, то вона розділяє її на два трикутники: трикутник AMD і трикутник BMC.

Так як AM є середньою лінією, то вона ділиться пополам в точці M. Тому можемо записати, що BM = MC = x/2.

Площа трикутника BMC дорівнює половині добутку його основи BM на висоту h. Отже, площа трикутника BMC дорівнює:

S_BMC = (BM * h) / 2 = (x/2 * h) / 2 = xh/4.

Аналогічно, площа трикутника AMD дорівнює:

S_AMD = (AM * h) / 2 = (x/2 * h) / 2 = xh/4.

Оскільки площа трикутника AMD дорівнює площі трикутника BMC, то ми можемо записати, що:

S_AMD = S_BMC.

xh/4 = xh/4.

Таким чином, площа трикутника AMD дорівнює площі трикутника BMC і не залежить від значення x.

Отже, площа трикутника AMD дорівнює площі трикутника BMC, яка в свою чергу дорівнює xh/4.

Висновок: площа трикутника AMD дорівнює xh/4, де x - довжина відрізка BC, а h - висота трапеції ABCD.