Question

Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами в точках A(1;5), B(7;7), C(13;5), D(7;3) - ромб

Answer 1

Ответ:

Вектор AB = (7-1,7-5) = (6,2)

Вектор BC = (13-7,5-7) = (6,-2)

Вектор CD = (7-13,3-5) = (-6, -2)

Вектор DA = (1-7,5-3) = (-6,2)

Оскільки вектори AB і CD мають однакову величину й однаковий напрямок, а вектори BC і DA — однакову величину й однаковий напрямок, то чотирикутник має бути ромбом.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD - ромб, ми можемо використовувати вектори та їхні властивості. Ромб - це чотирикутник з усіма сторонами однакової довжини.

Вектор між двома точками можна знайти, віднімаючи координати однієї точки від координат іншої. Наприклад, вектор AB буде мати координати (7-1, 7-5) = (6, 2).

Маємо такі вектори для кожної сторони:

1. Вектор AB: \(\vec{AB} = (6, 2)\) 2. Вектор BC: \(\vec{BC} = (13-7, 5-7) = (6, -2)\) 3. Вектор CD: \(\vec{CD} = (7-13, 3-5) = (-6, -2)\) 4. Вектор DA: \(\vec{DA} = (1-7, 5-3) = (-6, 2)\)

Тепер перевіримо, чи є ці вектори паралельними і чи мають однакову довжину. Якщо це вірно, то чотирикутник ABCD є ромбом.

1. Паралельність сторін: \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) - паралельні (мають однаковий напрям та відношення компонент).

\(\vec{BC}\) і \(\vec{DA}\) - паралельні (мають однаковий напрям та відношення компонент).

2. Однакова довжина сторін: \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40}\) \(\|\vec{BC}\| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}\) \(\|\vec{CD}\| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}\) \(\|\vec{DA}\| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{40}\)

Отже, усі сторони паралельні між собою, і всі вони мають однакову довжину. Це вказує на те, що чотирикутник ABCD є ромбом.