Question

СРОЧНО!!! Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами в точках А(3; 7), B(9; 9). C(15; 7) i D(9; 5) - ромб.​

Answer 1

Ответ:

Для того, щоб довести, що ABCD - ромб, необхідно показати, що він має чотири сторони однакової довжини та пари протилежних сторін паралельні. Можна довести це за допомогою векторів.

Для початку знайдемо вектори AB, BC, CD та DA:

AB = (9-3, 9-7) = (6, 2)

BC = (15-9, 7-9) = (6, -2)

CD = (9-15, 5-7) = (-6, -2)

DA = (3-9, 7-5) = (-6, 2)

Тепер порівняємо довжини сторін:

|AB| = sqrt(6^2 + 2^2) = sqrt(40) = 2*sqrt(10)

|BC| = sqrt(6^2 + (-2)^2) = sqrt(40) = 2*sqrt(10)

|CD| = sqrt((-6)^2 + (-2)^2) = sqrt(40) = 2*sqrt(10)

|DA| = sqrt((-6)^2 + 2^2) = sqrt(40) = 2*sqrt(10)

Отже, всі сторони мають однакову довжину 2*sqrt(10), що вказує на те, що ABCD - ромб.

Тепер порівняємо вектори, щоб переконатися, що пари протилежних сторін паралельні:

AB || CD, оскільки їх добуток скільки дорівнює 6*(-6) + 2*(-2) = -40, тобто вони є колінеарними векторами, а значить, паралельні.

BC || DA, оскільки їх добуток скільки дорівнює 6*(-6) + (-2)*2 = -40, тобто вони є колінеарними векторами, а значить, паралельні.

Отже, ми довели, що ABCD - ромб за допомогою векторів.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом за допомогою векторів, нам потрібно показати, що всі чотири сторони рівні між собою, або, іншими словами, що вектори, які представляють ці сторони, є рівними.

Спочатку ми можемо знайти вектори AB, BC, CD і DA:

1. Вектор AB: AB = B - A = (9 - 3, 9 - 7) = (6, 2).

2. Вектор BC: BC = C - B = (15 - 9, 7 - 9) = (6, -2).

3. Вектор CD: CD = D - C = (9 - 15, 5 - 7) = (-6, -2).

4. Вектор DA: DA = A - D = (3 - 9, 7 - 5) = (-6, 2).

Тепер ми маємо всі чотири вектори, що представляють сторони чотирикутника ABCD. Щоб довести, що це ромб, нам потрібно переконатися, що всі ці вектори є рівними за модулем (довжиною).

Обчислимо довжину кожного з цих векторів:

1. Довжина AB: |AB| = √(6² + 2²) = √(36 + 4) = √40.

2. Довжина BC: |BC| = √(6² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40.

3. Довжина CD: |CD| = √((-6)² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40.

4. Довжина DA: |DA| = √((-6)² + 2²) = √(36 + 4) = √40.

Якщо довжина всіх чотирьох сторін рівна √40, то це означає, що всі сторони рівні між собою. Отже, чотирикутник ABCD є ромбом.