Question

За допомогою векторів доведіть, що чотирикутник АВСD з вершинами в точках А(2; - 2), В( 1; 2), С( - 3; 1) і D ( - 2; - 3) є прямокутником.

Answer 1

У прямокутника діагоналі рівні: АС=ВD.
АС² =(х1-х2)²+(у1-у2)²=(2+3)²+(-2-1)²=2
5+9=34; АС=√34.
ВD²=(1+2)²+(2+3)²=9+25=34; ВD=√34.
АВСD - прямокутник

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є прямокутником, ми можемо використати властивість прямокутника, яка полягає в тому, що протилежні сторони прямокутника паралельні і мають рівні довжини, а також що діагоналі прямокутника перетинаються в прямому куті.

Для початку, давайте обчислимо вектори сторін чотирикутника ABCD. Використовуючи координати точок, ми можемо знайти вектори за допомогою різниці координат між відповідними точками.

Вектор AB: AB = B - A = (1 - 2, 2 - (-2)) = (-1, 4)

Вектор BC: BC = C - B = (-3 - 1, 1 - 2) = (-4, -1)

Вектор CD: CD = D - C = (-2 - (-3), -3 - 1) = (1, -4)

Вектор DA: DA = A - D = (2 - (-2), -2 - (-3)) = (4, 1)

Тепер, щоб довести, що чотирикутник ABCD є прямокутником, ми порівняємо довжини векторів AB, BC, CD та DA.

|AB| = √((-1)^2 + 4^2) = √(1 + 16) = √17 |BC| = √((-4)^2 + (-1)^2) = √(16 + 1) = √17 |CD| = √(1^2 + (-4)^2) = √(1 + 16) = √17 |DA| = √(4^2 + 1^2) = √(16 + 1) = √17

Отже, ми бачимо, що довжини сторін чотирикутника ABCD є однаковими і дорівнюють √17.

Тепер давайте порівняємо діагоналі чотирикутника. Для цього обчислимо вектори, що з'єднують протилежні вершини.

Вектор AC: AC = C - A = (-3 - 2, 1 - (-2)) = (-5, 3)

Вектор BD: BD = D - B = (-2 - 1, -3 - 2) = (-3, -5)

За допомогою векторного добутку можна визначити, чи перетинаються вектори AC і BD в прямому куті. Якщо вектор