Question

Знайти косинус кута між векторами а = n + 2m i b = 3n - m, де m i n одиничні взаємно перпендику- лярні вектори.​

Answer 1

Ответ: cosα= 1/(5√2)

Объяснение:

=> a=(1; 2)  , b=(3;-1)

=> IaI=$\sqrt{1+2^2)}=\sqrt{5}$     IbI=$\sqrt{3^2+1}=\sqrt{10}$

=> IaI*IbI*cosα = Xa*Xb+Ya*Yb

√50*cosα =1*3+2*(-1) =1

cosα= 1/(5√2)

Answer 2

Щоб знайти косинус кута між векторами \( \mathbf{a} \) та \( \mathbf{b} \), використовують формулу для косинусу кута між двома векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} \]

де \( \cdot \) позначає скалярний добуток векторів, а \( \|\mathbf{v}\| \) - норма вектора \( \mathbf{v} \).

У даному випадку вектори \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \), \( \mathbf{m} \), \( \mathbf{i} \), і \( \mathbf{n} \) описуються наступним чином:

\[ \mathbf{a} = n + 2m + i \] \[ \mathbf{b} = 3n - m \]

Вам також дано, що \( \mathbf{m} \), \( \mathbf{i} \), і \( \mathbf{n} \) є одиничні взаємно перпендикулярні вектори. Тобто:

\[ \|\mathbf{m}\| = \|\mathbf{i}\| = \|\mathbf{n}\| = 1 \] \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{i} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 0 \]

Тепер можемо підставити значення в формулу для косинусу кута:

\[ \cos(\theta) = \frac{(n + 2m + i) \cdot (3n - m)}{\|n + 2m + i\| \cdot \|3n - m\|} \]

Використовуючи властивості скалярного добутку і норм векторів, можна спростити це вираження. Наприклад:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{n^2 + 4m^2 + 1} \] \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{9n^2 + m^2} \]

Після підставлення та спрощення отримаємо косинус кута між векторами. Однак цей процес може бути досить складним і вимагати деяких алгебраїчних обчислень.