Question

Высислите объем конуса, если в осевом сечении получается равносторонний треугольник, со стороной равной 5​

Answer 1

V= \frac{1}{3} * S_{osn} *HV=31∗Sosn∗H

осевое сечение конуса равносторонний треугольник, =>

d основания конуса = 5 см , R=2,5 см

высота Н конуса = высоте h равностороннего треугольника.

высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

h= \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{2}h=2a23 ,

а - сторона правильного треугольника

h= \frac{5* \sqrt{3} }{2} , h=2,5 \sqrt{3}h=25∗3,h=2,53

S_{osn} = \pi *R ^{2}Sosn=π∗R2

V= \frac{1}{3} * \pi *2,5 ^{2} *2,5* \sqrt{3}V=31∗π∗2,52∗2,5∗3

V= \frac{15,625 \pi \sqrt{3} }{3}V=315,625π3 см³

Answer 2

Ответ:

15,625π√3/3 ед³

Решение:

Формула нахождения высоты равностороннего треугольника:

h=a√3/2, где а-сторона треугольника.

h=5√3/2=2,5√3 ед высота конуса.

R=a/2=5/2=2,5 ед радиус конуса.

Sосн=πR²=2,5²π=6,25π ед²

V=⅓*Sосн*h=6,25π*2,5√3/3=

=15,625π√3/3 ед³

Answer 3

Для вычисления объема конуса, если в его осевом сечении получается равносторонний треугольник, нужно использовать соотношение между объемом конуса и объемом правильной пирамиды, вписанной в тот же конус.

Объем конуса можно вычислить по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]

где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

Если взять правильную пирамиду вписанную в конус, то её высота будет равна высоте конуса, а боковые грани конуса будут боковыми гранями этой пирамиды.

Так как в осевом сечении получается равносторонний треугольник, высота пирамиды будет проведена из вершины этого треугольника к середине одной из сторон. Таким образом, получится два равнобедренных треугольника, каждый из которых можно разделить на два равнобедренных треугольника с прямым углом при основании. Такие треугольники будут прямоугольными и состоят из двух равных катетов и гипотенузы.

Длина стороны равностороннего треугольника равна 5 (по условию). Половина этой стороны будет катетом прямоугольного треугольника, а высота конуса будет гипотенузой этого треугольника.

Таким образом, длина катета \(a\) прямоугольного треугольника:

\[a = \frac{5}{2}.\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы \(h\) (высоту конуса):

\[h = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2}.\]

После того, как найдена высота конуса, можно использовать формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.\]

Так как в равностороннем треугольнике высота и медиана совпадают, то высота будет равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) раза длине стороны треугольника:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5.\]

Теперь можем подставить значения в формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5.\]

Выполняя вычисления, можно найти объем конуса.