Question

100 баллов Найдите объём цилиндра Осевое сечение цилиндра − прямоугольник, причём высота цилиндра равна 6 и наклонена к диагонали осевого сечения под углом 30°. Найдите объём цилиндра.

Answer 1

Відповідь:

Объем цилиндра равен 56,545 единиц квадратных.

Пояснення:

Осевое сечение цилиндра - это сечение проходящее через его ось. Это сечение имеет форму прямоугольника АВСF ( смотрите рисунок ). Высота прямоугольника h = 6 единицам. Угол между высотой прямоугольника и его диагональю АС составляет 30°. Рассмотрим треугольник АВС, угол В - прямой, угол А = 30°. АВ = 6 единицам. ВС = D диаметру цилиндра. tg ( 30° ) = ВС / АВ, Отсюда D = ВС = АВ × tg ( 30° ) = 6 × 0,577 = 3,464 единиц. Радиус цилиндра R = D / 2 = 3,464 / 2 = 1,732 единицы.

Объем цилиндра V = pi × R^2 × h = pi × 1,732^2 × 6 = 56,545 единиц квадратных.

Answer 2

Этот вопрос требует использования геометрии и тригонометрии. Первым шагом будет определение параметров прямоугольника, образованного осевым сечением цилиндра.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника, а \(h\) - его высота. Мы знаем, что высота цилиндра \(H\) равна 6 и угол наклона диагонали к оси цилиндра составляет 30°. Тогда \(h = 6\) и у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30°.

Используем тригонометрию, чтобы найти стороны прямоугольника: \[ \begin{align*} \sin 30° &= \frac{h}{b} \\ \frac{1}{2} &= \frac{6}{b} \\ b &= 12 \end{align*} \]

Теперь у нас есть одна сторона прямоугольника (\(b = 12\)). Для второй стороны (\(a\)) можем воспользоваться тем фактом, что угол между диагональю и осью цилиндра также является углом между диагональю и основанием прямоугольника. Таким образом, \(a = b \cdot \tan 30°\).

\[ \begin{align*} \tan 30° &= \frac{a}{b} \\ \sqrt{3}/3 &= \frac{a}{12} \\ a &= 4\sqrt{3} \end{align*} \]

Теперь у нас есть размеры прямоугольника (\(a = 4\sqrt{3}\), \(b = 12\)). Объём цилиндра можно найти, умножив площадь осевого сечения на высоту цилиндра:

\[ V = \pi \cdot a \cdot b \cdot H \]

Подставляем значения:

\[ V = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 12 \cdot 6 \]

Это даст вам объём цилиндра в численном выражении.