Question

В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом альфа,а з вершини конуса – під кутом бетта .Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо хорда дорівнює l

Answer 1

В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом альфа, а с вершины конуса – под углом бетта. Найти площадь боковой поверхности конуса, если хорда равна L

Объяснение:

1) В ΔАВО-равнобедренном т.к. , АО=ВО=r , углы

∠А=∠В=(180°-α):2=90°-α/2. По теореме синусов

АВ:sin∠O=AO:sin∠B ⇒  AO=(L*sin(90-α/2) )/sinα=  $\frac{L*cos\frac{\alpha }{2} }{sin\alpha }$ .

Радиус основания r=$\frac{L*cos\frac{\alpha }{2} }{sin\alpha }$

2) ΔАВС-равнобедренный , тк образующие равны.

∠САВ=∠СВА=(180°-β):2=90°-β/2. По теореме синусов

АВ:sin∠АСВ=ВС:sin∠САВ ⇒ВС=(L*sin(90-β/2) )/sinβ= $\frac{L*cos\frac{\beta }{2} }{sin\beta }$ .

3)S(бок.конуса )=π*r*l , где r-радиус основания, l-образующая конуса.

S(бок.конуса )=$\pi * \frac{L*cos\frac{\alpha }{2} }{sin\alpha } * \frac{L*cos\frac{\beta }{2} }{sin\beta }= \frac{\pi *L^{2} *cos\frac{\alpha }{2} *cos\frac{\beta }{2}}{sin\alpha*sin\beta }$ (см²).

Answer 2

Давайте позначимо основу конуса колом радіуса \( R \). Хорда, яку проведено в основі під кутом \( \alpha \) з центру основи, розділить коло на дві дуги. Позначимо довжину хорди як \( l \).

1. Знаходження довжини хорди: Довжина хорди \( l \) може бути знайдена за допомогою косинуса кута \( \alpha \). Половина довжини хорди буде радіусом кола, тобто \( R \cos(\alpha/2) \). Таким чином, довжина хорди буде: \[ l = 2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

2. Знаходження висоти конуса: Висота конуса може бути знайдена за допомогою теореми косинусів у трикутнику, утвореному радіусом кола, половиною хорди та висотою конуса \( h \): \[ h^2 = R^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2 \] Виразимо \( h \): \[ h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \]

3. Знаходження бічної поверхні конуса: Бічна поверхня конуса може бути знайдена за допомогою формули: \[ S_{\text{б}} = \pi R \ell \] де \( \ell \) - обхват бічної поверхні, який можна знайти за допомогою теореми Піфагора у трикутнику, утвореному висотою конуса, радіусом кола та половиною хорди: \[ \ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \]

Таким чином, \[ S_{\text{б}} = \pi R \sqrt{h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \]

Тепер ви можете використати цю формулу для знаходження площі бічної поверхні конуса, використовуючи вирази для \( h \) та \( l \).

Answer 3

Позначимо радіус основи конуса як R, а висоту конуса як h. Так як хорда видно з центра основи під кутом альфа, то можемо побачити дві правильні трикутники, утворені хордою і радіусом. За теоремою косинусів, можна записати наступну рівність: l^2 = R^2 + R^2 - 2R*R*cos(α) l^2 = 2R^2 - 2R^2*cos(α) l^2 = 2R^2(1 - cos(α))

Аналогічно, з використанням теореми косинусів для правильного трикутника, утвореного хордою з вершини конуса, можна записати: l^2 = R^2 + h^2 - 2R*h*cos(β)

Зауважимо, що в обох рівняннях ми маємо однакове значення l^2. Тому, зрівнюючи обидва вирази, маємо: 2R^2(1 - cos(α)) = R^2 + h^2 - 2R*h*cos(β)

Розкриваємо дужки та спрощуємо: 2R^2 - 2R^2*cos(α) = R^2 + h^2 - 2R*h*cos(β) R^2 - h^2 = 2R*h*cos(β) - 2R^2*cos(α) R^2 - h^2 = 2R(cos(β) - R*cos(α))

Знаючи, що площа бічної поверхні конуса дорівнює πRl, можемо використати отримане рівняння для знаходження площі бічної поверхні: S = πRl S = πR*sqrt(2R^2(1 - cos(α))) S = πR*sqrt(2R^2 - 2R^2*cos(α)) S = πR*sqrt(R^2 - h^2)

Отже, площа бічної поверхні конуса дорівнює πR*sqrt(R^2 - h^2).