Question

Дан треугольник ABC, биссектрисы которого пересекаются в точке I. Точки D, E, F − середины сторон BC, AC, AB соответственно. P − точка пересечения прямых BI и DE, Q − точка пересечения прямых CI и DF. Прямая PQ пересекает стороны AB и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что треугольник AKL − равнобедренный.

Answer 1

Ответ: ч.т.д.

Объяснение:

1) $DF \parallel AC$ (как средняя линия), следовательно $\angle DQC=\angle ACQ$ как накрест лежащие, значит $\angle DQC= \angle DCQ$ и $\triangle DCQ$ - равнобедренный, $DC=DQ$

2) $DE\parallel AB$ (как средняя линия), следовательно $\angle ABP=\angle BPD$ как накрест лежащие, значит $\angle DPB=\angle DBP$ и $\triangle BDP$ - равнобедренный, $DB=DP$

3) $DB=DQ=DP=DC$, значит около $BCPQ$ можно описать окружность с центром в точке $D$

4) $\angle QPB=\angle QCB$, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

5) $\angle PQC=\angle PBC$, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

6) $\angle AKL=\angle KBP+\angle KPB$ (как внешний угол $\triangle BKP$)

7) $\angle ALK=\angle LQC+\angle LCQ$ (как внешний угол $\triangle LCQ$)

8) $\angle AKL=\angle KBP+\angle KPB=\angle LQC+\angle LCQ=\angle ALK$, следовательно $\triangle ALK$ - равнобедренный, поскольку у него равны углы при основании $LK$

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник \(AKL\) равнобедренный, мы можем использовать свойства биссектрис треугольника и середины сторон.

Обозначим:

\(AD = DB = x\) (половина длины стороны \(BC\)),

\(AE = EC = y\) (половина длины стороны \(AC\)),

\(AF = FB = z\) (половина длины стороны \(AB\)).

Также обозначим \(AP = PD = DQ = QC = m\) и \(BI = IC = n\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\) и применим теорему о биссектрисе:

Из теоремы о биссектрисе следует, что \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\), поэтому \(\frac{x}{x+y} = \frac{z}{y}\), откуда \(xz = xy + y^2\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BID\) и воспользуемся теоремой о средней линии:

Так как \(AP = PD\) и \(BI = n\), то \(PQ = 2m\) и \(PI = \frac{1}{2}BI = \frac{n}{2}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(CID\) и также воспользуемся теоремой о средней линии:

Так как \(CQ = QD\) и \(CI = n\), то \(PQ = 2m\) и \(QI = \frac{1}{2}CI = \frac{n}{2}\).

Таким образом, у нас есть два равных отрезка \(PI\) и \(QI\), а также отрезки \(PK\) и \(QK\), и отрезки \(PL\) и \(QL\) равны соответственно половинам отрезков \(AB\) и \(AC\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AKL\). У нас есть две равные стороны (\(PK = QK\) и \(PL = QL\)), и угол между ними (\(\angle AKL\)) равен \(\angle BAC\), так как \(PK\) и \(PL\) являются биссектрисами этого угла.

Следовательно, треугольник \(AKL\) равнобедренный, что и требовалось доказать.