Question

Прямая а пересекает перпендикулярные друг другу плоскости в точках Ми N. Расстояния от этих точек до линии пересечений плоскостей: мо1, — 3 корень 2 и NO2, = 3 корень 2, где 01 и O2, — точки, лежащие на линии пересечения плоскостей. Длина отрезка MN равна 6. Найдите углы, которые отрезок MN образуют с данными плоскостями. Укажите величину угла NMO1 в градусах. Укажите величину угла MNO2, в градусах.

Answer 1

Ответ:

Величина угла NMO₁ равна 45°, величина угла MNO₂ равна 45°.

Объяснение:

Требуется указать величину угла NMO₁ в градусах, указать величину угла MNO₂ в градусах.

Дано: α ⊥ β;

а ∩ α = N; a ∩ β = M;

MO₁ = 3√2; NO₂ = 3√2 - расстояния от М и N до О₁О₂ - линии пересечения плоскостей.

МN = 6.

Найти: ∠NMO₁  и ∠MNO₂.

Решение:

1. Рассмотрим ΔО₁NM.

• Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр, опущенный из точки на данную прямую.

⇒ МО₁ ⊥ О₁О₂

• Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

⇒ МО₁ ⊥ α

• Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любым прямым, лежащим в этой плоскости.

⇒ МО₁ ⊥ O₁N

ΔО₁NM - прямоугольный.

MO₁ = 3√2;  МN = 6.

$\displaystyle cos\;\angle{NMO_1} = \frac{MO_1}{MN} =\frac{3\sqrt{2} }{6}=\frac{\sqrt{2} }{2} \\\\\angle{NMO_1}=45^0$

2. Рассмотрим ΔO₂MN.

Аналогично п.1:

NO₂ ⊥ O₁O₂

NO₂ ⊥ β

NO₂ ⊥ O₂M

⇒ ΔO₂MN - прямоугольный.

$\displaystyle cos\;\angle{MNO_2} = \frac{NO_2}{MN} =\frac{3\sqrt{2} }{6}=\frac{\sqrt{2} }{2} \\\\\angle{MNO_2}}=45^0$

∠NMO₁  = ∠MNO₂ = 45°

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Обозначим прямую, пересекающую перпендикулярные друг другу плоскости, как \(MN\). Точки пересечения прямой с плоскостью \(O_1\) обозначим как \(M\), с плоскостью \(O_2\) - как \(N\).

Также у нас есть информация о расстояниях от точек \(M\) и \(N\) до линии пересечения плоскостей:

\[MO_1 = -3\sqrt{2}, \quad NO_2 = 3\sqrt{2}\]

Известно, что длина отрезка \(MN\) равна 6.

Теперь мы хотим найти углы, которые отрезок \(MN\) образует с данными плоскостями, а затем вычислить величину угла \(NMO_1\) в градусах и угла \(MNO_2\).

1. Найдем угол \(NMO_1\):

Мы знаем, что косинус угла между векторами можно найти с использованием скалярного произведения:

\[\cos \theta = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|}\]

где \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{u}\) - векторы, \( \theta \) - угол между ними.

Возьмем вектора \( \overrightarrow{MO_1} \) и \( \overrightarrow{MN} \). Тогда:

\[\cos NMO_1 = \frac{\overrightarrow{MO_1} \cdot \overrightarrow{MN}}{\| \overrightarrow{MO_1} \| \| \overrightarrow{MN} \|}\]

Подставим значения и найдем косинус угла \(NMO_1\).

2. Найдем угол \(MNO_2\):

Аналогично, используем вектора \( \overrightarrow{NO_2} \) и \( \overrightarrow{MN} \):

\[\cos MNO_2 = \frac{\overrightarrow{NO_2} \cdot \overrightarrow{MN}}{\| \overrightarrow{NO_2} \| \| \overrightarrow{MN} \|}\]

Подставим значения и найдем косинус угла \(MNO_2\).

3. Переведем косинусы углов в градусы:

\[ \text{Угол в градусах} = \cos^{-1} (\text{косинус угла})\]

Таким образом, мы найдем углы \(NMO_1\) и \(MNO_2\) в градусах.

4. Найдем угол \(NMO_1\) в градусах:

\[ \text{Угол } NMO_1 = 180^\circ - \text{угол } NMO_1\]

Это связано с тем, что угол между векторами \(\overrightarrow{MO_1}\) и \(\overrightarrow{MN}\) на плоскости \(O_1\) дополняет до \(180^\circ\).

Таким образом, вы найдете величины углов \(NMO_1\) и \(MNO_2\).