Question

Сторона основания правильной четырёхугольный пирамиды 8 см, а боковое ребро 6 см. Определите длину апофемы.

Answer 1

апофема- это высота боковой грани - равнобедренного треугольника с боковой  стороной 6см, и основанием 8см, половина основания равна 4 см, чтобы найти длину апофемы, т.е. высоты в равнобедренном треугольнике, используем теорему Пифагора

√(6²-4²)=√20=2√5/см/

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников. Предположим, что основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат, и обозначим его сторону как \(a\). Также у нас есть боковое ребро пирамиды, длина которого равна \(b\), и апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания), которую мы обозначим как \(h\).

Так как пирамида правильная, то у неё все боковые грани являются равнобедренными треугольниками, и у нас есть два прямоугольных треугольника: один со сторонами \(a/2\), \(b\) и \(h\), а второй - со сторонами \(a/2\), \(a\) и \(h\). Используем теорему Пифагора для этих треугольников:

1. \((a/2)^2 + b^2 = h^2\) - для треугольника с основанием \(a/2\) и боковым ребром \(b\). 2. \((a/2)^2 + a^2 = h^2\) - для треугольника с основанием \(a/2\) и боковым ребром \(a\).

Теперь решим систему уравнений:

1. \((a/2)^2 + b^2 = h^2\) 2. \((a/2)^2 + a^2 = h^2\)

Сначала рассмотрим уравнение (2):

\((a/2)^2 + a^2 = h^2\)

Упростим его:

\((a^2/4) + a^2 = h^2\)

\((5a^2/4) = h^2\)

\(h = \sqrt{5a^2/4} = (a/2) \sqrt{5}\)

Теперь подставим \(h\) в уравнение (1):

\((a/2)^2 + b^2 = (\frac{a}{2}\sqrt{5})^2\)

\((a^2/4) + b^2 = (5a^2/4)\)

\((a^2/4) = 4b^2\)

\(a^2 = 16b^2\)

\(a = 4b\)

Теперь у нас есть соотношение между стороной основания \(a\) и боковым ребром \(b\): \(a = 4b\).

Итак, если сторона основания равна 8 см, то боковое ребро \(b = 8/4 = 2\) см. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину апофемы \(h\):

\((a/2)^2 + b^2 = h^2\)

\((4^2/2)^2 + 2^2 = h^2\)

\((8)^2 + 4 = h^2\)

\(64 + 4 = h^2\)

\(h^2 = 68\)

\(h = \sqrt{68} \approx 8.25\) см.

Таким образом, длина апофемы четырёхугольной пирамиды равна примерно 8.25 см.