Question

3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20 см, основание равно 32 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник и радиус описанной около этого треугольника окружности. ​

Answer 1

Ответ:

$r=5\frac{1}{3}$ см,

$R=18\frac{2}{3}$ см.

Объяснение:

Пусть R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности. Самые известные формулы нахождения вписанной и описанной окружностей:

$r=\frac{S}{p},\,\,\,\,R=\frac{abc}{4S}$.

Здесь p - полупериметр треугольника, S - площадь треугольника,

a, b, c -стороны треугольника.

p=(20+20+32):2

p=20+16

p=36 см

В данном случае а=20 см, b=20 см, с=32 см.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона.

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Подставим известные значения:

$S=\sqrt{36(36-20)*(36-20)*(36-32)}$

$S=\sqrt{6^2*16^2*4}$

$S=\sqrt{6^2*16^2*2^2}$

$S=6*16*2$  см²

Точное значение можно не вычислять, по условию задачи это не требуется.

Подставим известные данные в формулу вычисления радиуса вписанной окружности.

$r=\frac{6*16*2}{36}$

Сокращаем на 6 числитель и знаменатель

$r=\frac{16*2}{6}$

Сокращаем на 2 обе части. Получаем

$r=\frac{16}{3}$

$r=5\frac{1}{3}$  см

Подставим известные данные в формулу вычисления радиуса описанной окружности.

$R=\frac{20*20*32}{4*6*2*16}$.

Делим числитель и знаменатель на 32.

$R=\frac{20*20}{4*6}$.

Делим числитель и знаменатель на 4.

$R=\frac{5*20}{6}$.

Делим числитель и знаменатель на 2:

$R=\frac{5*10}{3}$

$R=18\frac{2}{3}$ см.

Answer 2

Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей в равнобедренном треугольнике, нужно использовать следующие формулы:

1. Радиус вписанной окружности (r):

\[ r = \frac{a}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

где \( a \) - длина боковой стороны, \( \alpha \) - угол при вершине треугольника.

2. Радиус описанной окружности (R):

\[ R = \frac{a}{2} \cdot \csc\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

где \( \csc \) - косеканс, обратная тригонометрическая функция.

В вашем случае треугольник равнобедренный, поэтому у него две одинаковые стороны. Поскольку основание равно 32 см, а боковая сторона 20 см, разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, используя высоту, проведенную из вершины треугольника к основанию. Эта высота разделит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых будет содержать половину основания и боковую сторону.

\[ \text{Высота}^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \text{Боковая сторона}^2 \]

\[ \text{Высота}^2 + 10^2 = 20^2 \]

\[ \text{Высота}^2 + 100 = 400 \]

\[ \text{Высота}^2 = 300 \]

\[ \text{Высота} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]

Теперь мы можем найти угол \( \alpha \), так как у нас есть два прямоугольных треугольника:

\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{Высота}}{\frac{a}{2}} \]

\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{10\sqrt{3}}{10} \]

\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{3} \]

\[ \frac{\alpha}{2} = \arctan(\sqrt{3}) \]

\[ \alpha = 2 \cdot \arctan(\sqrt{3}) \]

\[ \alpha \approx 120^\circ \]

Теперь мы можем использовать найденный угол и длину боковой стороны для нахождения радиусов:

\[ r = \frac{a}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

\[ r = \frac{20}{2} \cdot \tan\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \]

\[ r = 10 \cdot \tan(60^\circ) \]

\[ r = 10 \cdot \sqrt{3} \]

\[ r = 10\sqrt{3} \, \text{см} \]

\[ R = \frac{a}{2} \cdot \csc\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

\[ R = \frac{20}{2} \cdot \csc\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \]

\[ R = 10 \cdot \csc(60^\circ) \]

\[ R = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \]

\[ R = \frac{20}{\sqrt{3}} \, \text{см} \]

Итак, радиус вписанной окружности равен \( 10\sqrt{3} \) см, а радиус описанной окружности равен \( \frac{20}{\sqrt{3}} \) см.