Question

Докажите, что в произвольном графе, в котором есть хотя бы одно ребро, можно раскрасить вершины в чёрный и белый цвета так, чтобы рёбер, концы которых покрашены в разные цвета, было больше, чем рёбер, концы которых покрашены в один цвет.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Докажем утверждение задачи индукцией по количеству вершин n. База. Пусть n=2, и вершины соединены ребром. Покрасим вершины в разные цвета, тогда утверждение будет выполнено.

Переход. Так как есть хотя бы одно ребро, и хотя бы 3 вершины, то можно удалить одну какую-то вершину A так, чтобы в оставшейся части графа осталось хотя бы одно ребро. По предположению индукции, оставшуюся часть графа можно раскрасить так, чтобы в ней количество разноцветных рёбер было больше количества одноцветных. Теперь посмотрим, с чем соединена вершина A. Если среди её соседей чёрных хотя бы столько, сколько белых, покрасим её в белый, иначе покрасим в чёрный. Получилось, что разноцветных рёбер из вершины A выходит хотя бы столько, сколько одноцветных. Таким образом, во всём графе разноцветных рёбер больше, чем одноцветных.

Answer 2

Раскраска вершин в графе

Для доказательства того, что в произвольном графе, в котором есть хотя бы одно ребро, можно раскрасить вершины в черный и белый цвета так, чтобы ребер, концы которых покрашены в разные цвета, было больше, чем ребер, концы которых покрашены в один цвет, можно использовать принцип Дирихле.

Принцип Дирихле

Принцип Дирихле утверждает, что если n+1 объектов размещаются в n контейнерах, то хотя бы в одном контейнере будет находиться более одного объекта. В контексте раскраски графа, мы можем рассматривать вершины как объекты, а цвета (черный и белый) как контейнеры.

Доказательство

Предположим, что в произвольном графе, в котором есть хотя бы одно ребро, нельзя раскрасить вершины так, чтобы ребер, концы которых покрашены в разные цвета, было больше, чем ребер, концы которых покрашены в один цвет.

Рассмотрим произвольную вершину в графе. У нее может быть несколько соседей, и они могут быть покрашены в разные цвета. Если все соседи покрашены в один цвет, то мы можем покрасить текущую вершину в противоположный цвет, чтобы увеличить количество ребер, концы которых покрашены в разные цвета.

Если же у текущей вершины есть соседи, покрашенные в разные цвета, то мы можем выбрать одного из соседей и покрасить текущую вершину в противоположный цвет. Это также увеличит количество ребер, концы которых покрашены в разные цвета.

Мы можем продолжать этот процесс, пока не достигнем конца графа. В конечном итоге, мы либо покрасим все вершины в разные цвета, либо увеличим количество ребер, концы которых покрашены в разные цвета.

Таким образом, мы доказали, что в произвольном графе, в котором есть хотя бы одно ребро, можно раскрасить вершины в черный и белый цвета так, чтобы ребер, концы которых покрашены в разные цвета, было больше, чем ребер, концы которых покрашены в один цвет.

Пример

Давайте рассмотрим пример графа с 4 вершинами и 4 ребрами:

   A---B
   |   |
   C---D

Мы можем раскрасить вершины следующим образом:

   A---B
   |   |
   C---D

В этом примере, у нас есть 2 ребра, концы которых покрашены в разные цвета (ребра AB и CD), и 2 ребра, концы которых покрашены в один цвет (ребра AC и BD). Таким образом, мы удовлетворяем условию задачи.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что в произвольном графе, в котором есть хотя бы одно ребро, можно раскрасить вершины в черный и белый цвета так, чтобы ребер, концы которых покрашены в разные цвета, было больше, чем ребер, концы которых покрашены в один цвет.