Question

У трикутнику АВС провели висоти АА1 та ВВ1. Доведіть, що трикутники АВС і А1В1С1 подібні. Знайти k (коефіціент подібності), якщо кут С = φ. (з малюнком, будь ласка!)

Answer 1

Ответ:

$k=\cos \phi$

Объяснение:

Рассмотрим ΔАА₁С:

∠АА₁С = 90°,

$\cos\angle C=\dfrac{CA_1}{CA}$

Рассмотрим ΔBB₁С:

∠BB₁С = 90°,

$\cos\angle C=\dfrac{CB_1}{CB}$

У треугольников А₁В₁С и АВС:

$\dfrac{CA_1}{CA}=\dfrac{CB_1}{CB}=\cos\angle C$

∠С - общий, значит

ΔА₁В₁С ~ ΔАВС по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

$k=\cos\angle C=\cos \phi$

Answer 2

В даній задачі нам потрібно довести подібність трикутників ABC і A1B1C1 та знайти коефіцієнт подібності k, якщо кут C дорівнює φ.

Нехай h і h1 - висоти трикутників ABC та A1B1C1 відповідно, і m - середня лінія трикутника ABC.

Для того щоб довести подібність трикутників, можемо використовувати теорему про висоти трикутника, яка стверджує, що висоти трикутника ділять його на три подібні трикутники.

Зокрема, маємо, що:

1. Трикутники ABC та A1B1C1 подібні за теоремою про висоти трикутника, оскільки висоти AA1, BB1 і CC1 поділяють їх на три подібні трикутники.

2. Кути при основі подібних трикутників рівні, тобто кут A = A1, кут B = B1, кут C = C1.

3. За теоремою про середні лінії трикутника, лінія m паралельна і рівна половині основи трикутника ABC (основа тут - BC), і вона також ділить трикутник ABC на два подібні трикутники. Таким чином, відношення між лініями h та h1 також буде k.

Отже, трикутники ABC і A1B1C1 подібні, і коефіцієнт подібності k дорівнює відношенню висоти h до висоти h1, тобто:

\[ k = \frac{h}{h1} \]

Якщо ви надаєте малюнок, я можу надати більш детальний розгорнутий відповідь з використанням малюнка.