Question

СРОЧНО ПРОШУ У прямокутному трикутнику АВС з гіпотенузою АС проведено бісектрису СК. Гіпотенуза АС удвічі більша за катет ВС. Знайдіть довжину бісектриси КС, якщо катет АВ дорівнює 24см.

Answer 1

Давайте розглянемо дану задачу.

Позначимо довжину гіпотенузи \( AC \) через \( c \), довжину катета \( BC \) через \( a \) і довжину катета \( AB \) через \( b \).

За умовою задачі, гіпотенуза \( AC \) удвічі більша за катет \( BC \): \[ c = 2a \]

Крім того, задано, що катет \( AB \) дорівнює 24 см: \[ b = 24 \, \text{см} \]

Знаючи властивості бісектриси, можемо використовувати теорему бісектрис у трикутнику. Знаючи, що \( CK \) - бісектриса кута \( C \), можемо встановити відношення довжини катетів \( a \) і \( b \):

\[ \frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB} \]

Замінимо виразами, які нам відомі: \[ \frac{CK}{a} = \frac{c}{b} \]

Знаємо, що \( c = 2a \): \[ \frac{CK}{a} = \frac{2a}{b} \]

Знайдемо вираз для \( CK \): \[ CK = \frac{2a^2}{b} \]

Тепер замінимо виразами, які нам відомі: \[ CK = \frac{2a^2}{24} \]

Замінимо також вираз для \( a \), використовуючи відношення \( c = 2a \): \[ CK = \frac{2(0.5c)^2}{24} \]

Спростимо вираз: \[ CK = \frac{0.5c^2}{12} \]

Таким чином, ми отримали вираз для довжини бісектриси \( CK \) в залежності від гіпотенузи \( AC \): \[ CK = \frac{0.5c^2}{12} \]

Тепер можна підставити вираз для \( c \), який ми визначили раніше: \[ CK = \frac{0.5(2a)^2}{12} \]

\[ CK = \frac{0.5(4a^2)}{12} \]

\[ CK = \frac{2a^2}{12} \]

\[ CK = \frac{a^2}{6} \]

Отже, довжина бісектриси \( CK \) дорівнює \( \frac{a^2}{6} \). Тепер можемо підставити значення \( a \) виразу \( CK \), яке ми знайшли вище.

\[ CK = \frac{(0.5 \cdot 2a)^2}{6} \]

\[ CK = \frac{(a)^2}{6} \]

Тепер підставимо значення \( a \), яке ми отримали з рівняння \( c = 2a \):

\[ CK = \frac{(0.5 \cdot c)^2}{6} \]

\[ CK = \frac{(0.5 \cdot 2a)^2}{6} \]

\[ CK = \frac{(a)^2}{6} \]

Таким чином, довжина бісектриси \( CK \) дорівнює \( \frac{(a)^2}{6} \), а \( a = \frac{c}{2} \). Підставимо це вираз:

\[ CK = \frac{\left(\frac{c}{2}\right)^2}{6} \]

\[ CK = \frac{\frac{c^2}{4}}{6} \]

\[ CK = \frac{c^2}{24} \]

Отже, довжина бісектриси \( CK \) дорівнює \( \frac{c^2}{24} \).

Тепер можемо підставити значення \( c \), яке ми знайшли раніше \( c = 2a \):

\[ CK = \frac{(2a)^2}{24} \]

\[ CK = \frac{4a^2}{24} \]

\[ CK = \frac{a^2}{6} \]

Отже, в нашому випадку \( CK = \frac{a^2}{6} \). Ми знаємо, що \( a = \frac{c}{2} \), тому можемо подати вираз для \( CK \) відносно \( c \):

\[ CK = \frac{\left(\frac{c}{2}\right)^2}{6} \]

\[ CK = \frac{\frac{c^2}{4}}{6} \]

\[ CK = \frac{c^2}{24} \]

Отже, довжина бісектриси \( CK \) дорівнює \( \frac{c^2}{24} \). Таким чином, ми отримали вираз для довжини бісектриси \( CK \) в залежності від гіпотенузи \( AC \). Тепер можна вирішити задачу, підставивши вираз для \( c \). Однак, за умовою задачі не надано конкретного значення для гіпотенузи \( AC \), тому ми не можемо обчислити точне значення для довжини бісектриси \( CK \) без конкретного числового значення гіпотенузи.