Question

11. Докажите, что если соединить середины сторон равнобедренного треуголь- ника, то получится равнобедренный треугольник.​

Answer 1

Ответ:

)

В ΔАА1В1 и ΔВ1С1С:

АА1 = СС1 как половины равных сторон (т.к. АА1 = АВ : 2 = ВС : 2 = СС1)

∠А = ∠С, т.к. ΔАВС — равнобедренный и ∠А и ∠С — углы при основании.

Таким образом, ΔАА1В1 = ΔВ1С1С по 1-му признаку равенства треугольников.

Отсюда А1В1 = В1С1.

Таким образом, ΔА1В1С1 — равнобедренный (по определению

Answer 2

Для доказательства того, что соединение середин сторон равнобедренного треугольника приводит к образованию равнобедренного треугольника, мы можем использовать свойства средней линии треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. В равнобедренном треугольнике каждая из средних линий является медианой, высотой и биссектрисой.

Доказательство

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Обозначим середины сторон треугольника как M, N и P, где M - середина AB, N - середина AC и P - середина BC.

Теперь соединим точки M, N и P. Мы получим новый треугольник MNP.

Доказательство равенства сторон

Чтобы доказать, что треугольник MNP является равнобедренным, нам необходимо доказать, что его стороны равны.

1. Для начала, рассмотрим стороны MP и NP. Поскольку M и N являются серединами сторон AB и AC соответственно, то по свойству средней линии треугольника MP = NP.

2. Теперь рассмотрим сторону MN. Поскольку M и N являются серединами сторон AB и AC соответственно, то MN будет параллельна стороне BC и равна половине её длины. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AB, а значит MN = BC/2 = AB/2.

Таким образом, мы доказали, что стороны треугольника MNP равны: MP = NP и MN = AB/2.

Доказательство равенства углов

Чтобы доказать, что треугольник MNP является равнобедренным, нам также необходимо доказать, что его углы равны.

1. Рассмотрим угол MNP. Поскольку M и N являются серединами сторон AB и AC соответственно, а P - середина стороны BC, то угол MNP будет равен углу BAC (по свойству медианы).

2. Теперь рассмотрим угол NPM. Поскольку N и P являются серединами сторон AC и BC соответственно, а M - середина стороны AB, то угол NPM будет равен углу BCA (по свойству медианы).

Таким образом, мы доказали, что углы треугольника MNP равны: ∠MNP = ∠BAC и ∠NPM = ∠BCA.

Заключение

Мы доказали, что треугольник MNP, образованный соединением середин сторон равнобедренного треугольника ABC, также является равнобедренным треугольником.