Question

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10, а высота 5. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Answer 1

Ответ:

25√2 кв. ед.

Объяснение:

Если конус описан около пирамиды, то основание конуса - окружность, описанная около основания пирамиды, а высота пирамиды является высотой конуса.

Точка пересечения диагоналей квадрата - точка О - центр окружности, описанной около квадрата и центр основания конуса.

Тогда АSC -  осевое сечение конуса.

Диагональ квадрата:

АС = АВ√2 = 10√2

$S_{ASC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot SO=\dfrac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}\cdot 5=25\sqrt{2}$

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства подобных фигур. Основание правильной четырёхугольной пирамиды - это квадрат, а высота проходит через его центр. Также у нас есть информация о стороне основания (a) и высоте (h) пирамиды.

1. Площадь основания пирамиды (S_base): Поскольку основание - квадрат, то площадь его можно найти по формуле \( S_{\text{base}} = a^2 \). В данном случае \( S_{\text{base}} = 10^2 = 100 \).

2. Объем пирамиды (V_piramid): Объем правильной четырёхугольной пирамиды можно вычислить по формуле \( V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}S_{\text{base}} \cdot h \). В данном случае \( V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 5 = \frac{500}{3} \).

3. Радиус описанного конуса (R_cone): Радиус описанного конуса равен половине стороны основания пирамиды: \( R_{\text{cone}} = \frac{a}{2} \). В данном случае \( R_{\text{cone}} = \frac{10}{2} = 5 \).

4. Высота описанного конуса (H_cone): Высота описанного конуса равна высоте пирамиды: \( H_{\text{cone}} = h \). В данном случае \( H_{\text{cone}} = 5 \).

5. Объем описанного конуса (V_cone): Объем конуса можно вычислить по формуле \( V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi R_{\text{cone}}^2 H_{\text{cone}} \). В данном случае \( V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \frac{125}{3}\pi \).

6. Площадь осевого сечения конуса (S_section): Площадь осевого сечения конуса можно выразить через объем конуса и высоту пирамиды: \( S_{\text{section}} = \frac{3V_{\text{cone}}}{h} \). В данном случае \( S_{\text{section}} = \frac{3 \cdot \frac{125}{3}\pi}{5} = 25\pi \).

Таким образом, площадь осевого сечения конуса, описанного вокруг данной правильной четырёхугольной пирамиды, равна \(25\pi\).