Question

В правильной четырехугольной пирамиде сумма бокового ребра и высоты равна А. в пирамиде, имеющей наибольший объем, найдите угол между апофемой и плоскостью основания. буду очень благодарен, завтра сдавать а сами не понимаем

Answer 1

Дано: в правильной четырехугольной пирамиде сумма бокового ребра и высоты равна А.

Найти угол между апофемой и плоскостью основания в пирамиде, имеющей наибольший объем.

Пусть боковое ребро равно L, высота равна Н = А - L.

Их соединяет половина диагонали основания, равная (а√2/2).

По Пифагору (а√2/2)² = L² - H² = L² - (A - L)² = L² - A² +2AL - L² = 2AL - A².

a² *2/4 = 2AL - A².

Отсюда можно получить площадь So основания, выраженную через одну переменную L:

So = a² = (2AL - A²)/(2/4) = 2(2AL -A²) = 4AL - 2A².

Объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)(4AL - 2A²)(A - L) = (4/3)A²L - (2/3)A³ - (4/3)AL² + (2/3)A²L = -(4/3)AL² + 2A²L - (2/3)A³.

Найдена функция зависимости объёма пирамиды от длины L бокового ребра при константе A.

График этой функции - парабола ветвями вниз (коэффициент при квадрате переменной отрицателен).

Максимум такой функции находится в её вершине, абсцисса равна хо = -b/2a.

Находим значение переменной L в точке максимума.

Lo = -2A²/(2*(-(4/3)A)) = (3/4)A.

Подставим это значение в уравнение объёма пирамиды.

V = -(4/3)A((3/4)A)² + 2A²(3/4)A) - (2/3)A³ = (-A³/4) + (3/2)A³ - (2/3)A³ = A³/12.

Угол α между апофемой и плоскостью основания можно выразить двумя способами.

α = arctg(H/(a/2))  или α = arcsin(H/Ап), где Ап это апофема.

Высота Н = А - L = А - (3/4)А = (1/4)А.

а = √(4AL - 2A²) = √(4A(3/4)A - 2A²) = A.

tg α = (1/4)А/(A/2) = 1/2.

Ответ: a = arctg(1/2) = 0,4636 радиан или 26,565 градуса.

Answer 2

Давайте разберемся с данными и постараемся решить задачу.

Пусть h - высота пирамиды, a - боковое ребро, Ap - апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания), V - объем пирамиды, A - сумма бокового ребра и высоты.

Согласно условию, A = a + h.

Воспользуемся формулой для объема пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Поскольку в задаче говорится о пирамиде с наибольшим объемом, то нам нужно построить пирамиду с максимальной площадью основания и максимальной высотой.

Известно, что площадь основания прямоугольной пирамиды S = a * a.

Теперь можем выразить S через V: V = (1/3) * a * a * h.

Будем искать производную V по a, чтобы найти ее экстремум. Для этого возьмем производную от V и приравняем ее к нулю:

dV/da = (1/3) * (2a * h) = 2ah/3.

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

2ah/3 = 0.

Таким образом, получаем два решения: a = 0 и h = 0.

Однако, в случае a = 0, пирамида теряет смысл, так как у нее становится вырожденной и ее объем равен нулю. Поэтому рассмотрим только второе решение: h = 0.

Если h = 0, то пирамида вырождается в нижнюю грань, а угол между апофемой и плоскостью основания будет равен нулю.

Таким образом, ответ на задачу - угол между апофемой и плоскостью основания равен нулю.