Question

Биссектрисы внутренних углов при вершинах A и B треугольника пересекаются в точке P а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке Q Докажите что все четыре точки A B PQ лежат на одной окружности Где расположена её центр

Answer 1

Для доказательства, что все четыре точки \(A\), \(B\), \(P\) и \(Q\) лежат на одной окружности, мы можем использовать теорему о правильных четырехугольниках.

Теорема: Если у четырехугольника \(ABCD\) существует окружность, проходящая через все его вершины, то этот четырехугольник является правильным (все его углы равны, и все его стороны равны).

Давайте рассмотрим треугольник \(ABC\). Биссектрисы внутренних углов при вершинах \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(P\), а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке \(Q\).

Теперь, если мы рассмотрим угол \(APB\), то он делится биссектрисой внутреннего угла на два равных угла. То же самое верно для угла \(AQB\). Таким образом, угол \(APB\) равен углу \(AQB\).

Теперь рассмотрим треугольник \(PQB\). Угол \(APB\) равен углу \(AQB\), следовательно, угол \(APQ\) равен углу \(BPQ\). Это значит, что треугольник \(PQB\) — равносторонний.

Таким образом, мы доказали, что у треугольника \(ABC\) все стороны равны. По теореме о правильных четырехугольниках, точки \(A\), \(B\), \(P\) и \(Q\) лежат на одной окружности. Центр этой окружности будет центром описанной окружности вокруг треугольника \(ABC\).