Question

Паралельною проекцією ромба ABCD (ACN BD=0) на площину а є чотирикутник А,В,С,D1. Знайдіть довжину відрізка ВВ, якщо АА =2, CC =8, DD1=6

Answer 1

Задача полягає в знаходженні довжини відрізка \( BB' \), де \( B' \) - проекція точки \( B \) ромба \( ABCD \) на площину \( a \).

Позначимо дані: - \( AA' = 2 \) - довжина відрізка між вершинами \( A \) і \( A' \), - \( CC' = 8 \) - довжина відрізка між вершинами \( C \) і \( C' \), - \( DD' = 6 \) - довжина відрізка між вершинами \( D \) і \( D' \).

Ми також знаємо, що \( AC \perp BD \), тобто вектори \( AC \) і \( BD \) є перпендикулярними. Також, оскільки ромб \( ABCD \) - паралелограм, то вектори \( AB \) і \( CD \) також є перпендикулярними.

Позначимо \( B' \) - проекцію точки \( B \) на площину \( a \). Тоді можемо розглядати прямокутний трикутник \( ABB' \). За теоремою Піфагора для цього трикутника:

\[ (BB')^2 = (AA')^2 + (AB)^2 \]

Маємо \( (AA')^2 = 2^2 = 4 \).

Далі, оскільки вектори \( AB \) і \( CD \) є перпендикулярними, то можемо використати теорему Піфагора для трикутника \( ABC \):

\[ (AB)^2 = (AC)^2 + (BC)^2 \]

Також, оскільки ромб \( ABCD \) - паралелограм, то \( BC = DD' = 6 \). Таким чином, маємо:

\[ (AB)^2 = (AC)^2 + (DD')^2 \] \[ (AB)^2 = 8^2 + 6^2 \] \[ (AB)^2 = 64 + 36 \] \[ (AB)^2 = 100 \]

Тепер можемо підставити це значення в рівняння для трикутника \( ABB' \):

\[ (BB')^2 = (AA')^2 + (AB)^2 \] \[ (BB')^2 = 4 + 100 \] \[ (BB')^2 = 104 \]

Отже, \( BB' = \sqrt{104} \), що можна спростити до \( 2\sqrt{26} \). Таким чином, довжина відрізка \( BB' \) дорівнює \( 2\sqrt{26} \).