Question

2. Якщо кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 30 ^ 0 то площа трикутника дорівнює 16sqrt(3) C * M ^ 2 Знайти довжину бічної сторони.

Answer 1

Спочатку давайте з'ясуємо, які властивості має рівнобедрений трикутник.

Рівнобедрений трикутник має дві рівні сторони і два рівні кути при основі. Означимо довжину рівної сторони трикутника як \( a \), а кут при основі як \( \angle ABC \), де \( AC \) і \( BC \) - рівні сторони.

За умовою задачі нам відомо, що \( \angle ABC = 30^\circ \).

Тепер, маємо формулу для обчислення площі трикутника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

де \( h \) - висота трикутника. В рівнобедреному трикутнику висота розділить його на два рівні прямокутних трикутники. Ми можемо позначити половину відстані між основами трикутника як \( b \).

Тоді \( h \) можна виразити через половину основи \( b \):

\[ h = \sqrt{a^2 - b^2} \]

Але ми ще не знаємо значення \( b \).

Ми знаємо, що \( \angle ABC = 30^\circ \), а отже, ми можемо використовувати тригонометричні функції.

\[ \tan(\angle ABC) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{\frac{a}{2}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{\frac{a}{2}} \]

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння відносно \( b \):

\[ \sqrt{a^2 - b^2} = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{6} \]

\[ a^2 - b^2 = \frac{3 \cdot a^2}{36} \]

\[ a^2 - b^2 = \frac{a^2}{12} \]

\[ b^2 = \frac{11 \cdot a^2}{12} \]

\[ b = \frac{a}{\sqrt{12}} \]

Тепер, ми можемо використовувати це значення \( b \), щоб знайти площу трикутника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - b^2} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - \frac{11 \cdot a^2}{12}} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{12}} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

\[ S = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \]

За умовою задачі площа трикутника дорівнює \( 16\sqrt{3} \cdot C \cdot M^2 \), тобто:

\[ \frac{a^2}{4\sqrt{3}} = 16\sqrt{3} \cdot C \cdot M^2 \]

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння відносно \( a \):

\[ a^2 = 64 \cdot 3 \cdot C \cdot M^2 \]

\[ a = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot M \]

Отже, довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника дорівнює \( 8 \cdot \sqrt{3} \cdot M \).