Question

Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, прове дённые к соответственно равным сторонам, равны

Answer 1

Давайте рассмотрим треугольник АВМ и треугольник А1 В1 С1; АВ=А1В1 из равенства кут В=В1. треугольник АВС= треугольник А1 В1 С1 ;
кут ВАМ=В1А1М1 (т.к. кут А=А1 ). Значит, треугольник АВМ = А1 В1 М1 (по второму признаку)
Следовательно, АМ=А1 М1, что требовалось и доказать :)

Answer 2

Давайте рассмотрим два равных треугольника, обозначим их как ABC и A'B'C', где стороны AB и A'B', BC и B'C', AC и A'C' соответственно равны. Также предположим, что биссектрисы углов треугольника ABC обозначаются как AD, BE и CF, а биссектрисы углов треугольника A'B'C' обозначаются как A'D', B'E' и C'F'. Мы хотим доказать, что AD = A'D', BE = B'E' и CF = C'F'.

Требуется доказать, что биссектрисы проведены к соответственно равным сторонам треугольников ABC и A'B'C' равны.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AD - биссектриса угла A. Согласно теореме о биссектрисе, отрезок AD делит противоположный угол на две равные части и делит сторону BC пропорционально оставшимся сторонам треугольника. Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \]

Аналогично, для биссектрисы угла B (BE):

\[ \frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AB} \]

Теперь рассмотрим треугольник A'B'C'. Пусть A'D - биссектриса угла A'. Также согласно теореме о биссектрисе:

\[ \frac{B'D'}{C'D'} = \frac{A'B'}{A'C'} \]

\[ \frac{C'E'}{A'E'} = \frac{B'C'}{B'A'} \]

Обратите внимание, что стороны треугольников ABC и A'B'C' равны по условию, поэтому мы можем записать:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{A'B'}{A'C'} \]

\[ \frac{CE}{AE} = \frac{B'C'}{B'A'} \]

Теперь сравним полученные выражения:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{A'B'}{A'C'} \]

\[ \frac{CE}{AE} = \frac{B'C'}{B'A'} \]

Мы видим, что эти выражения идентичны. Следовательно, биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам треугольников ABC и A'B'C', также равны. Таким образом, мы доказали, что AD = A'D', BE = B'E' и CF = C'F'.