Question

Доказать теорему " доказательство теоремы "через каждую точку прямой можно провести единственную перпендикулярную ей прямую" Доказательство: Предполагаем противное: ......... Предполагаем противоположное: ....... Приходим к противоречию: ..... Делаем заключение: .........

Answer 1

Доказательство:

Предположим противное: Пусть существует точка на прямой, через которую можно провести более одной перпендикулярной прямой.

Предположим противоположное: Предположим, что в данной точке на прямой можно провести две различные перпендикулярные прямые.

Приходим к противоречию: Рассмотрим две такие перпендикулярные прямые, проведенные через данную точку. Обозначим их как L1 и L2.

Эти две прямые пересекутся где-то вне данной точки, так как перпендикулярные прямые, проведенные через одну и ту же точку, не могут пересекаться в этой точке.

Имеем две пересекающиеся прямые L1 и L2, что противоречит определению перпендикулярности - перпендикулярные прямые должны пересекаться только в данной точке.

Делаем заключение: Наше предположение о существовании двух перпендикулярных прямых через данную точку оказалось неверным, и, следовательно, через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

Answer 2

Доказательство теоремы "через каждую точку прямой можно провести единственную перпендикулярную ей прямую" можно провести следующим образом:

Предположим противное: предположим, что через какую-то точку прямой можно провести две различные перпендикулярные прямые.

Предположим противоположное: предположим, что через данную точку прямой нельзя провести ни одной перпендикулярной прямой.

Приходим к противоречию: если через данную точку прямой можно провести две различные перпендикулярные прямые, то они образуют угол, который по определению перпендикуляра должен быть прямым. Если же через данную точку прямой нельзя провести ни одной перпендикулярной прямой, то это противоречит определению перпендикуляра.

Делаем заключение: исходное предположение оказалось ложным, следовательно, через каждую точку прямой можно провести единственную перпендикулярную ей прямую.